פונקציות בעלות ערך וקטורי
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| vector-valued function/ˈvektə ˈvæljuːd ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה תלויה בווקטור |
| vector/ˈvektə/ | ווקטור |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | פרמטר |
פונקציה שמחזירה חץ
- פונקציות רגילות מחזירות מספר; פרמטריות מחזירות זוג נקודות.
- פונקציית-וקטור עוטפת זוג זה לתוך וקטור אחד.
- ניתן לחשוב על כך כעץ מהראשית שקצהו זז עם הזמן.
- זוהי השפה הטבעית לתיאור מיקום, מהירות ותנועה במישור.
מה היא מחזירה
- פונקציית-וקטור $\vec{r}(t)$ מחזירה וקטור עבור כל קלט $t$.
- לרוב הוקטור הזה הוא מיקום: $\vec{r}(t) = \langle x(t), y(t)\rangle$.
- הפרמטר $t$ (לרוב זמן) גורם לחץ להגיע למיקום חדש.
- לכן קלט אחד נותן חץ אחד, המצביע מהראשית למיקום הנוכחי.
פונקציה בעלת ערך וקטורי $\vec{r}(t)$ מחזירה, עבור כל $t$,…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
פונקציה בעלת ערך וקטורי מחזירה וקטור לכל קלט — לעיתים קרובות המיקום $\langle x(t), y(t)\rangle$.
הקצה מצייר את הדרך
- אחזו את הזנב בראשית והניחו ל$t$ גדול.
- קצה החץ נע, והשביל שהשאיר הוא העקומה.
- עקומה זו היא בדיוק הדרך הפרמטרית מהשיעורים הקודמים.
- לכן, פונקציה בעלת ערך וקטורי ופונקציה פרמטרית הן שתי תמונות של אותה רעיון.
פונקציה בעלת ערך וקטורי $\vec{r}(t) = \langle x(t), y(t)\rangle$ קשורה מאוד לפונקציה פרמטרית.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אלו שתי זוויותView של אותה רעיון: הרכיבים $x(t), y(t)$ הם בדיוק המשוואות הפרמטריות.
ככל שהפרמטר $t$ משתנה, ה____ של וקטור המיקום משרטט את העקומה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הוקטור מתחיל בראשית הצירים; ראש החץ שלו מסמן את הנקודה הנוכחית על המסלול.
עבור $\vec{r}(t) = \langle 2t,\ t^2\rangle$, מהי הרכיב $y$ בנקודה $t = 3$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הרכיב $y$ הוא $t^2 = 3^2 = 9$; הרכיב $x$ הוא $2t = 6$, ולכן $\vec{r}(3) = \langle 6, 9\rangle$.
בחר את כל האמיתות על פונקציות בעלות ערך וקטורי.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הן מחזירות וקטור, ולא מספר יחיד. השלושה האחרים נכונים.
הערכה ושילוב
- הערכה $\vec{r}(t)$ על ידי הצבת $t$ בכל רכיב.
- $\vec{r}(3) = \langle 2\cdot 3,\ 3^2\rangle = \langle 6, 9\rangle$ עבור $\vec{r}(t) = \langle 2t, t^2\rangle$.
- קצב השינוי של $\vec{r}(t)$ הוא וקטור המהירות — הרכיבים $\langle x'(t), y'(t)\rangle$.
- חיבור שתי פונקציות בעלות ערך וקטורי מתבצע על ידי חיבור הרכיבים שלהן.
פונקציות בעלות ערך וקטורי
פונקציה בעלת ערך וקטורי מחזירה וקטור; יש להוסיף את הרוכבים הווקטוריים כדי לקבל את התוצאה.
מדוע המבט הווקטורי עוזר
- כתיבת תנועה כוקטור יחיד שומר על המיקום, המהירות והכיוון ביחד.
- הרחבה נקייה למרחב תלת-ממדי, שבו מוסיפים רכיב $z(t)$ נוסף.
- פיזיקה וגרפיקה מחשב מתארות גופים נעים בדיוק באופן זה.
- התמונה עם חץ יחיד מקלה לחשוב על תנועות משולבות.
פונקציה בעלת ערך וקטרי מפיקה וקטור, לא מספר. אל תסתכלו על $\vec{r}(t) = \langle x(t), y(t)\rangle$ כערך יחיד — הוא תמיד כולל שני רכיבים (כיוון וגודל), ושניהם משתנים עם $t$.
חלקיק נע בהתאם ל$\vec{r}(t) = \langle t,\ t^2\rangle$.
- ב$t = 0$: $\vec{r} = \langle 0, 0\rangle$ — הוא מתחיל בראשית.
- ב$t = 2$: $\vec{r} = \langle 2, 4\rangle$ — למעלה ולימין.
- קצהו מרשום את הפרבולה $y = x^2$ כאשר $t$ גדל.
פונקציה בעלת ערך וקטרי $\vec{r}(t)$ מפיקה וקטור עבור כל ערך של פרמטר — בדרך כלל המיקום $\langle x(t), y(t)\rangle$. קצהו מרשום מסלול כאשר $t$ משתנה, ולכן זוהי התמונה הווקטורית של פונקציה פרמטרית. הערכו אותה רכיב אחר רכיב.