פרמטרית של עקומות אינציאליות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| parameter/pəˈræmɪtə/ | פרמטר |
| implicitly defined/ɪmˈplɪsɪtli dɪˈfaɪnd/ | מוגדר במפורש |
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | משוואות פרמטריות |
הופעת עקומה סטטית לתנועה
- משוואה אי-מפורשת כמו $x^2 + y^2 = 4$ קובעת צורה אך אינה מספקת מידע כלשהו על תנועה.
- כדי לאנימצות אותה או לצייר אותה נקודה בנקודה, אנו זקוקים לכלל המאפשר תנועה לאורך העקומה.
- הכלל הזה הוא פרמטרization: ביטוי $x$ ו$y$ באמצעות פרמטר יחיד.
- הוא ממיר תנאי מקורזם לנקודה נעה שעוברת לאורך העקומה.
מעיגוי אי-מפורש לפרמטרי
- התחילו בעקומה מוגדרת אי-מפורשות — משוואה המשלבת $x$ ו$y$.
- מצאו משוואות פרמטריות $x(t)$, $y(t)$ שכל הנקודות שלהן מקיימות אותה.
- כאשר הפרמטר מתקדם, הנקודה מטפסת בדיוק את העקומה הזו.
- אותה עקומה, תיאור חדש — עכשיו עם כיוון ומהירות מובנים.
פרמטרית של עקומה אינציאלית היא שימושית כי…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
פרמטרית מספקת כלל ללשוט לאורך העקומה, ערך $t$ אחד בכל פעם — מצוין לשרטוט ותנועה.
המעגל, בשתי הצורות
- אי-מפורש: $x^2 + y^2 = 4$ אומר "מרחק $2$ מהראשית".
- פרמטרי: $x = 2\cos t$, $y = 2\sin t$ נעים סביבו כאשר $t$ טורף $0$ עד $2\pi$.
- בדוק שהן תואמות: $(2\cos t)^2 + (2\sin t)^2 = 4(\cos^2 t + \sin^2 t) = 4$. ✓
- זהות פייתגורס היא בדיוק מה שמבטיח שהפרמטרization תקיים את המשוואה.
הפיכת משוואת עיגול לתנועה
מעגל סתום x² + y² = 4 הופך ל-x = 2 cos t, y = 2 sin t כשהזווית נעה.
פרמטרית של העיגול האינציאלי $x^2 + y^2 = 4$ היא…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
בדיקה: $(2\cos t)^2 + (2\sin t)^2 = 4(\cos^2 t + \sin^2 t) = 4$. ✓ היא מקיימת את המשוואה האינציאלית לכל ערך $t$.
בחר את כל המשפטים הנכונים לגבי פרמטרית של עקומות אינציאליות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הפרמטריזציה אינה משנה את הצורה — היא מתארת את אותה עקומה. השלוש האחרות נכונות.
בדיקת פרמטרization
- כדי לאמת כי $x(t), y(t)$ מפרמטר קמע סתום, הצב אותו במשוואה.
- אם המשוואה מתקיימת עבור כל $t$, הפרמטרization תקפה.
- כך תזהו ניחוש שגוי: הצבאו והאימונו אם הוא מתאחד לטענה נכונה.
- הזהות הטריגונומטרית $\cos^2 + \sin^2 = 1$ מבצעת את העבודה הכבדה עבור מעגלים ואליפסות.
כדי לוודא פרמטרית, הצב $x(t)$ ו-$y(t)$ בתוך המשוואת ____ ובדוק שהיא מתקיימת.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
פרמטרית תקנית חייבת לקיים את המשוואה האינציאלית עבור כל ערך של הפרמטר.
עקומה אינציאלית אחת יכולה להיות ממוספרת בדרכים שונות.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כיוונים, מהירויות או נקודות התחלה שונים נותנים פרמטריות תקניות שונות של אותה עקומה.
פרמטרזציות תקפות רבות
- לעקומה אין פרמטרזציה "נכונה" יחידה.
- הפיכת כיוון, שינוי מהירות או הזזת נקודת ההתחלה מניבות כולן פרמטרזציות תקפות.
- $x = 2\cos t, y = -2\sin t$ מסמן את אותו עיגול בכיוון השעון במקום אחר.
- בחרו את הפרמטרזציה שלדעתכם מתאימה למשפט הבעיה.
פרמטרזציה חייבת לקיים את המשוואה הסתירה לכל ערכי הפרמטר, ולא רק לאחד. בדקו על ידי הצבה והתאחדות — פורמולה שעובדת בערך $t$ אחד אך נכשלת באחרים היא לא פרמטרזציה של העקומה.
פרמטר את האליפסה $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$.
- נסו $x = 3\cos t$, $y = 2\sin t$.
- בדקו: $\dfrac{9\cos^2 t}{9} + \dfrac{4\sin^2 t}{4} = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$. ✓
- לכן $(3\cos t, 2\sin t)$ מתאר את כל האליפסה כאשר $t$ עובר מ$0$ עד $2\pi$.
פרמטרזציה הופכת עקומה מותארת סתירה למשוואות פרמטריות $x(t), y(t)$ שמסמנות אותה כאשר הפרמטר עובר. בדקו על ידי הצבה במשוואה הסתירה ובדיקה שהיא מתקיימת עבור כל $t$. לעקומה ישנם פרמטרזציות תקפות רבות, הנבדלות בכיוון ובמהירות.