חוצי שטח
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| ellipse/ɪˈlɪps/ | אליפסה |
| parabola/pəˈræbələ/ | פרבולה |
| hyperbola/haɪˈpɜːbələ/ | היפרבולה |
| conic section/ˈkɒnɪk ˈsekʃn/ | קטיע חרוט |
חיתוך של קונוס
- קחו קונוס כפול וחיתכו עם מישור שטוח בזוויות שונות.
- חיתוך ישר נותן עיגול; הטיה קלה מתיחה אותו לאליפסה.
- הטיה גדולה יותר פותחת לפראבולה; הטיה תלולה יותר מפצלת להיפרבולה.
- ארבע העקומות הללו — המחלקות הקוניות — מופיעות בכל רחבי המדע והעיצוב.
משפחת המחלקות הקוניות
- חיתוך קוני הוא עקומה שנוצרת כאשר מישור חותך קונוס.
- הארבעה סוגים הם: העיגול, האליפסה, הפראבולה וההיפרבולה.
- לכל אחת מהן יש משוואה סתומה נקייה והגדרה גיאומטרית של "מרחק".
- כוכבי לכת נעים באליפסות; כדורים שנזרקו וצלחות לוויין מתארים פראבולות.
החוצי השטח הם העקומות הנוצרות על ידי…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
חיתוך קונוס היא חתך של מישור וקונוס; זווית החתך נותנת עיגול, אלפסה, פרבולה או היפרבולה.
עיגול הוא חיתוך קונוסי מיוחד (אלפסה שבה שני הצירים מתמזגים).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כששני הצירים מתמזגים למרכז אחד, האלפסה הופכת לעיגול מושלם.
האליפסה
- אליפסה היא קבוצת הנקודות שהסכום המרחקים שלהן לשני מוקדים קבועים הוא קבוע.
- המשוואה שלה היא $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, עיגול מתיחה.
- מעגל הוא מקרה פרטי שבו שני המוקדים מתמזגים למרכז אחד.
- הציר הארוך הוא ציר ראשי; הקצר הוא ציר משני.
אלפסה היא קבוצת הנקודות שבהן סכום המרחקים לשני הצירים הוא…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לכל נקודה על האלפסה יש אותו סכום מרחקים לשני הצירים — הקבוע הזה מגדיר את צורתה.
בחר את כולם החיתוכים הקונוסיים.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
משולש אינו חיתוך קונוסי. העיגול, האלפסה, הפרבולה וההיפרבולה הם החיתוכים הקונוסיים.
פרבולה היפרבולה
- פרבולה היא קבוצת הנקודות השוות-מרחקות ממוקד ומקוון קבוע (הדיירקטריקה).
- המשוואה שלה נראית כמו $y = ax^2$ — גרף פולינום ריבועי.
- היפרבולה היא המקום הגיאומטרי שבו ההפרש בין המרחקים לשני מוקדים הוא קבוע.
- משוואתה היא $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, הפונה לשתי ענפים.
איזה חצי שטח?
האיברים הריבועיים מגיעים למידע על החצי השטח. סווגו כל משוואה.
____ היא החיתוך הקונוסי שבו כל נקודה נמצאת במרחק שווה מציר ומשורה ישרית (דיטרקטריקס).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
פרבולה מאזנת בין המרחק לציר לבין המרחק לקו קבוע (הדיטרקטריקס).
זיהוי חתכי קונוס
- קראו את צורת המשוואה: $x^2 + y^2$ עם מקדם שווה הוא מעגל.
- מקדמים חיוביים שונים ב-$x^2$ וב-$y^2$ נותנים אליפסה.
- איבר ריבועי יחיד נותן פרבולה; סימן מינוס ביניהם נותן היפרבולה.
- דוגמת הסימנים באיברים הריבועיים אומרת לכם איזה חתך קונוס יש לכם.
לא כל קוני הוא פונקציה של $x$. מעגלים, אלפסיות ופרבולות צדדיות לא עומדות במבחן הקו האנכי. תאר אותן באמצעות משוואות סתומות או צורות פרמטריות, ולא על ידי ניסיון לכפות פונקציה יחידה של $y = f(x)$.
זיהו את חתך הקונוס $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$.
- שני האיברים מורבעים, חיוביים, ומקדמיהם שונים.
- זוהי משוואת אליפסה.
- היא נמתחת ל-$x = \pm 3$ (ציר ראשי) ול-$y = \pm 2$ (ציר משני).
חתכי הקונוס — מעגל, אליפסה, פרבולה ו-היפרבולה — הם העקומות הנוצרות מחיתוך קונוס. לכל אחד מהם יש הגדרת מרחק (אליפסה מסכמת מרחקים לשני מוקדים) ומשוואה גלומה מאפיין, והרוב מהם אינם פונקציות של $x$.