מעגלים וקווים פרמטריים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| parameter/pəˈræmɪtə/ | פרמטר |
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | משוואות פרמטריות |
| unit circle/ˈjuːnɪt ˈsɜːkl/ | מעגל יחיד |
ציור מעגלים בדרך קלה
- לא ניתן לכתוב מעגל כפונקציה אחת $y = f(x)$ — הוא אינו עומד במבחן הקו האנכי.
- אך עם פרמטר, הדבר הופך לפשוט ומרהיב: זווית שהופכת סביב מרכזו.
- גם ישרים מקבלים ביטוי פרמטרי נקי המבוסס על נקודת התחלה וכיוון.
- שני צורות אלו הן הכלים הבסיסיים בגיאומטריה פרמטרית.
ישר, בביטוי פרמטרי
- מתחילים בנקודה $(x_0, y_0)$ וזזים צעד קבוע בכל יחידה של $t$.
- משוואות הפרמטריות הן $x = x_0 + at$ ו-$y = y_0 + bt$.
- כאן $(a, b)$ הוא הכיוון, ו-$t$ הוא ה-פרמטר שמוביל אותנו לאורך המסלול.
- כאשר $t$ עובר על כל המספרים הממשיים, הנקודה משרטטת את הישר המלא.
קו העובר דרך נקודה בכיוון קבוע ניתן לכתוב פרמטרית כך…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
התחלת מנקודה $(x_0, y_0)$ ותנועה ב$(a, b)$ בכל יחידת זמן $t$ משרטטת קו ישר.
מעגל, בביטוי פרמטרי
- נקודה על מעגל היחידה בזווית $t$ היא $(\cos t, \sin t)$.
- קנה מידה לפי הרדיוס $r$: $x = r\cos t$ ו-$y = r\sin t$ משרטטים מעגל ברדיוס $r$.
- כאשר $t$ סורק מהערך $0$ ועד הערך $2\pi$, הנקודה עוברת פעם אחת סביב, בכיוון נגד כיוון השעון.
- הזז ב-$(h, k)$ כדי למקם את המעגל בכל מקום.
להזיז את הזווית כדי לשרטט מעגל
כשפרמטר (זווית) זז מ-0 ל-2π, הנקודה (cos t, sin t) עוברת פעם אחת סביב המעגל.
אילו משוואות פרמטריות משרטטות מעגל ברדיוס $r$ שמרכזו הוא הראשית?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ממעגל היחידה בקנה מידה של $r$: $x = r\cos t$ ו$y = r\sin t$ משרטטים את המעגל כש$t$ עובר מ$0$ ל$2\pi$.
הפרמטריזציה $x = \cos t,\ y = \sin t$ נובעת ישירות מ-____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
נקודה על מעגל היחידה בזווית $t$ היא $(\cos t, \sin t)$ — הפרמטריזציה הטבעית של מעגל.
סמן את כל ההצהרות האמתיות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
מעגל ניתן לפרמטריזציה (זהו המטרה עצמה). השלושה האחרים נכונים.
כיוון ומהירות
- הביטוי הפרמטרי מגדיר לא רק את הצורה אלא גם את הדרך שבה היא מצוירת.
- $x = \cos t, y = \sin t$ נע בכיוון נגד כיוון השעון; $x = \cos t, y = -\sin t$ נע בכיוון השעון.
- החלפת $t$ ב-$2t$ משרטטת את אותו עיגון פעמיים מהר יותר.
- לכן לאותו עיגון ישנן פרמטריות רבות, כל אחת עם תנועה משלה.
הגבלת $t$ ל$0 \le t \le \pi$ ב$x = \cos t,\ y = \sin t$ משרטטת רק את החלק העליון של המעגל.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מ$t = 0$ ל$\pi$, $y = \sin t \ge 0$, ולכן נשרטט רק חצי מעגל עליון.
שרטוט חלק בלבד
- הגבלת מרווח הפרמטר שורטטת רק קשת.
- שימוש ב-$0 \le t \le \pi$ ב-$(\cos t, \sin t)$ נותן רק את החלק העליון של העיגון.
- עבור ישר, הגבלת $t$ נותנת מקטע או קרן.
- בחרו את המרווח כדי לשרטט בדיוק את החלק הרצוי.
הצורה הפרמטרית של עיגון אינה יחידה. $(\cos t, \sin t)$ ו-$(\sin t, \cos t)$ משרטטים את עיגון היחיד, אך מתחילים בנקודות שונות ונעים בכיוונים שונים. תמיד בדקו את נקודת ההתחלה והכיוון, ולא רק את הצורה.
פרמטרו את עיגון ברדיוס $3$ שמרכזו ב-$(1, -2)$.
- התחילו מהצורה של עיגון היחיד ושקלו פי $3$: $3\cos t$, $3\sin t$.
- הזיזו את המרכז ל-$(1, -2)$: $x = 1 + 3\cos t$, $y = -2 + 3\sin t$.
- כאשר $t$ עובר מ-$0$ ל-$2\pi$, זה משרטט את העיגון המלא פעם אחת.
ישר הוא $x = x_0 + at,\ y = y_0 + bt$ (נקודה פלוס כיוון). עיגון ברדיוס $r$ הוא $x = r\cos t,\ y = r\sin t$, ישירות מתוך עיגון היחיד. משוואות פרמטריות אלו מאפשרות ל-פרמטר $t$ לקבוע את הצורה, הכיוון והמהירות – הגבילו את $t$ כדי לשרטט רק קשת או מקטע.