פונקציות פרמטריות ותנועה במישור
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| parametric function/ˌpærəˈmetrɪk ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה פרמטרית |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | פרמטר |
היכן הוא כרגע?
- השלך כדור והוא יעבור בקשת רכה באוויר.
- כדי לתאר טיסה זו, אנו עוקבים אחרי המיקום האופקי והאנכי שלו לאורך הזמן.
- כל אחד מהם הוא פונקציה עצמאית של הזמן — ובחדות הם נותנים את מיקום הכדור בכל רגע.
- זה בדיוק מה שפונקציות פרמטריות נוצרו עבור.
מיקום לאורך זמן
- פונקציית פרמטר מדגמת תנועה על ידי מתן מיקום $(x(t), y(t))$ בכל רגע נתון.
- ה-פרמטר $t$ משמש כשעון; הצב ערך זמן וקרא את המיקום המתקבל.
- התנועה האופקית מתוארת ב-$x(t)$, והתנועה האנכית ב-$y(t)$.
- הזוג (x(t), y(t)) משרטט את מסלולו של הגוף במישור.
כשפונקציות פרמטריות מדגמות תנועה, הפרמטר $t$ מייצג בדרך כלל…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
בפונקציה פרמטרית המדגימה תנועה, $t$ הוא זמן, ו$(x(t), y(t))$ היא מיקום הגוף באותו רגע.
פיצול התנועה
- הקסם הגדול הוא ש-$x$ ו-$y$ ניתן לניתוח באופן עצמאי.
- כדור שמזרקת נע במהירות אופקית קבועה, בעוד שכובד גרביטציוני מעוות את תנועתו האנכית.
- לכן ייתכן ש-$x(t)$ היא פונקציה ליניארית בעוד ש-$y(t)$ היא פרבולה הפוכה.
- כאשר משלבים אותן, הכדור עוקף את הקשת המוכרת שלו.
לכדור יש $x = 3t$ ו$y = 20t - 5t^2$. מה גובהו $y$ בזמן $t = 2$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$y = 20(2) - 5(2)^2 = 40 - 20 = 20$; ו$x = 3(2) = 6$, ולכן הכדור נמצא ב$(6, 20)$.
המיקום ההתחלתי של הגוף נמצא על ידי הצבת $x$ ו$y$ ב$t =$ ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
בזמן $t = 0$ התנועה מתחילה, ולכן $(x(0), y(0))$ הוא המיקום ההתחלתי.
בחר את כל המשפטים הנכונים לגבי תנועה פרמטרית.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
מסלול פרמטרי יכול להתעגל (כמו קשת כדור שנזרק), ולא רק להיות קו. השלושה האחרים נכונים.
קריאת התנועה
- הנקודה ההתחלתית נמצאת ב-$t = 0$: חשב את ערכי $x(0)$ ו-$y(0)$.
- זמנים מאוחרים יותר מייצגים מיקומים מאוחרים לאורך המסלול.
- במקום בו המסלול מגיע לגובה המקסימלי, התנועה האנכית עוצרה רגעית בהרמה.
- מעקב אחרי $t$ כלפי מעלה מראה את כיוון התנועה.
מסלול המוגדר על ידי פרמטר
כאשר הפרמטר משתנה, הנקודה נעה ומציירת עקומה במישור.
ניתן לנתח את התנועה האופקית והאנכית בנפרד כ$x(t)$ ו$y(t)$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
פיצול התנועה לחלקים בלתי תלויים של $x$ ו$y$ הוא החוזקה הגדולה ביותר של המבט הפרמטרי.
מעבר למיקום
- מפונקציות המיקום ניתן לשאול באיזה קצב משתנה כל קואורדינטה.
- הדבר מוביל למהירות — שיעור השינויים בשיעור הבא.
- ניתן גם למצוא מתי הגוף נופל (כאן $y = 0$ שוב) או כמה הוא עובר.
- תנועה פרמטרית הופכת גיאומטריה לסיפור זז.
אל תבלבל בין המסלול לבין התנועה. התמונה של הקשת מראה את הצורה, אך הפרמטריזציה גם כוללת מתי הכדור נמצא בכל נקודה וכיצד מהר. שני כדורים יכולים לשיתף מסלול אך לנוע לאורכו בצורות שונות מאוד.
לכדור יש $x = 3t$ ו-$y = 20t - 5t^2$ (מטר, שניות).
- ב-$t = 0$: מיקום $(0, 0)$ — הוא מתחיל באפס.
- ב-$t = 2$: $x = 6$, $y = 40 - 20 = 20$ — הוא נמצא $6$ מ' רוחבית ו-$20$ מ' גובה.
- הוא נופל כאשר $y = 0$ שוב: $20t - 5t^2 = 0 \Rightarrow t = 4$ שניות.
פונקציית פרמטרית מדגמנת תנועה במישור על ידי מתן מיקום $(x(t), y(t))$ בכל זמן, כאשר ה-פרמטר $t$ משמש כשעון. תנועה אופקית ואנכית מפוצלות ל-$x(t)$ ו-$y(t)$, שיכולות להתנתח בנפרד ולשלב מחדש לתוך המסלול.