ייצוג וניתוח תנודה הרמונית פשוטה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| amplitude/ˈæmplɪtjuːd/ | משרעת |
| phase/feɪz/ | פאזה |
ציור התנודות
- אם תעקבו אחרי מסה רוקדת לאורך זמן, תקבלו גל חלק בגרף.
- אותה עקומת S מתארת קפיצים, מטרונים וקול.
- הגובה, המהירות והשיפוע כולם נגזרים ממשוואה אחת.
- קוסינוס יחיד תופס את כל התנועה החזרה-עודה.
המיקום לאורך זמן
- ההיסת בתנודות הרמוניות פשוטות מציירה קוסינוס:
- $A$ היא ה-משרעת, ההיסה המקסימלית.
- $\omega$ הוא התדר הזוויתי ו-$\varphi$ הוא ה-פאזה, הנקודה ההתחלתית.
ב$x = A\cos(\omega t + \varphi)$, הסמל A מסמן את ה____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$A$ הוא המשרעת – ההזזה הגדולה ביותר מהיציבות.
מהירות ואיצוב נגזרים
- גזרו כדי לקבל את המהירות והאיצוב:
- מהירות מקסימלית $v_{max} = A\omega$; איצוב מקסימלי $a_{max} = A\omega^2$.
למתנד יש $A = 0.2\ \text{m}$ ו-$\omega = 4\ \text{rad/s}$. מה המהירות המקסימלית שלו (ב-m/s)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$v_{max} = A\omega = 0.2 \times 4 = 0.8\ \text{m/s}$.
עבור אותו מתנד ($A = 0.2\ \text{m}$, $\omega = 4\ \text{rad/s}$), מה ההאצה המקסימלית (ב-m/s²)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$a_{max} = A\omega^2 = 0.2 \times 16 = 3.2\ \text{m/s}^2$.
קיצונים הפוכים
- המהירות היא הגדולה ביותר באיזון (כאן $x = 0$) ואפס בקצוות.
- האיצוב הוא הגדול ביותר בקצוות ואפס באיזון.
- כך ש-$x$ ו-$a$ הם בדיוק בשלב הפוך, בעוד ש-$v$ מוביל בחמישית מחזור.
תנודות הרמוניות פשוטות כגל סינוסואידי
ההיסתו של מתנד רמוני פשוט מציירת עקומת קוסין לאורך זמן.
איפה בתנועה המהירות היא הגדולה ביותר?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המהירות מגיעה לשיא ב$x = 0$ (באמצע) ואפס בקצוות.
תנועה הרמונית פשוטה: ההזזה וההאצה נמצאות בדיוק בשלבים הפוכים (שלב מנוגד).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$a = -\omega^2 x$, ולכן $a$ תמיד מנוגד ל$x$.
מתנד יש לו $A = 0.1\ \text{m}$ ו-$\omega = 5\ \text{rad/s}$.
- מהירות מקסימלית: $v_{max} = A\omega = 0.1 \times 5 = 0.5\ \text{m/s}$, מושגת באמצע.
- תאוצה מקסימלית: $a_{max} = A\omega^2 = 0.1 \times 25 = 2.5\ \text{m/s}^2$, מושגת בקצוות.
מסה ששומרה משקט בקצה הרחוק מתוארת בצורה הטובה ביותר באמצעות...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ב$t = 0$ ההזזה היא מקסימלית, דבר שהקוסינוס מספק עם $\varphi = 0$.
אל תחליפו בין מקום הפיק של המהירות לבין זה של התאוצה – הם נמצאים בנקודות מנוגדות: המהירות גדולה ביותר באמצע, והתאוצה הגדולה ביותר בקצוות. אם התנועה מתחילה בקצה הרחוק, השתמשו בפונקציית קוסינוס ($\varphi = 0$); אם היא מתחילה במצב איזון ונעה החוצה, השתמשו בפונקציית סינוס. בנוסף, $\omega$ כאן הוא במחלקות לשנייה (rad/s), ולא בתדר $f$.
תנודת גומלין פשוטה (SHM) היא פונקציית קוסינוס אחת: $x = A\cos(\omega t + \varphi)$, עם משרעת $A$ ופזה $\varphi$. הנגזרות שלה מספקות $v_{max} = A\omega$ (במצב איזון) ו$a_{max} = A\omega^2$ (בקצוות). ההיסח ואת התאוצה בדיוק נגד כיוון, והמהירות מובילה את המיקום בחמישית מחזור.