תדר ותקופה בתנועה פשוטה הרמונית
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| period/ˈpɪərɪəd/ | זמן מחזור |
| frequency/ˈfriːkwənsi/ | תדר |
| angular frequency/ˈæŋɡjʊlə ˈfriːkwənsi/ | תדר זוויתי |
ספירת דופקים
- מטרונום מקלקל בקצב יציב שאפשר לספור.
- מסה כבדה על קפיץ רך נדנדת לאט; קפיץ קשיח מחזירה במהירות.
- לכל תנודן יש קצב טבעי משלו.
- שני נוסחות פשוטות חוזה בדיוק כמה מהר כל אחד מהם חוזר על עצמו.
תקופה, תדר ועומגל
- התקופה $T$ היא הזמן למחזור מלא אחד.
- התדר $f = 1/T$ סופר מחזורים לשנייה.
- התדר העוקבי הוא $\omega = 2\pi f = \dfrac{2\pi}{T}$.
למתנד יש תקופה של $0.25\ \text{s}$. מה התדר שלו (בהרץ)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$f = 1/T = 1/0.25 = 4\ \text{Hz}$.
מסה על קפיץ
- מסה $m$ על קפיץ בעובי $k$ יש לה תקופה:
- מסה כבדה יותר מתנדדת לאט יותר ($T$ ארוך יותר); קפיץ נוקשה מהיר יותר.
- זה נובע מ-$\omega = \sqrt{k/m}$.
החלפתת מסת המתנד-קפיץ במסה כבדה יותר, התקופה...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$T = 2\pi\sqrt{m/k}$, ולכן מסה גדולה יותר $m$ גורמת לתקופה ארוכה יותר $T$.
אם מכפילים את המסה על הקפיץ פי ארבע, התקופה הופכת ל...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$T \propto \sqrt{m}$, ולכן $\sqrt{4} = 2$ פעמים המחזור.
מתלה נדנד
- מתלה באורך $L$ יש לו תקופה:
- מתלה ארוך יותר מתנדנד לאט; כבידה חזקה יותר מהירה.
- שימו לב שהמסה של הכדור אינה מופיעה.
מה משנה את התקופה?
סדר כל שינוי לפי האם הוא משנה תקופה של מתנד.
הגדלת מסת נד הקולנוע (באותו אורך) משנה את התקופה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$T = 2\pi\sqrt{L/g}$ אינה מכילה איבר מסה – מסת הנד אינה רלוונטית.
מדול בעל אורך של $L = 1.0\ \text{m}$ ומאיץ כבידה של $g = 9.8\ \text{m/s}^2$. מהו מחזור ההתנד (ביחידות שניות, לעגול ל-1 אחרי הנקודה)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$T = 2\pi\sqrt{L/g} = 2\pi\sqrt{1/9.8} \approx 2.0\ \text{s}$.
מסה $0.2\ \text{kg}$ על קפיץ $k = 50\ \text{N/m}$.
- תקופה: $T = 2\pi\sqrt{m/k} = 2\pi\sqrt{0.2/50} = 2\pi\sqrt{0.004} \approx 0.40\ \text{s}$.
- תדר: $f = 1/T \approx 2.5\ \text{Hz}$.
בתנועה הרמונית פשוטה אידיאלית, אמפליטודה גדולה יותר נותנת תקופה ארוכה יותר.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
התקופה בלתי תלויה באמפליטודה – תנועות גדולות וקטרות לוקחות אותו זמן.
עובדה מפתיעה — לתנודות הרמוניות פשוט אידיאליות, התקופה אינה תלויה במשרעת, ולכן נדודה גדולה ונדודה קטובה לוקחות את אותו זמן. נוסחת המטרון תקפה רק לזוויות קטנות; תקופת הקפיץ מתעלמת מכבידות והתקופה של המטרון מתעלמת ממסת הכדור. ושימו לב לשורש הריבועי: ארבעה פעמים מסת גורם רק להכפיל את התקופה.
ה-תקופה $T$ (מחזור אחד), ה-תדר $f = 1/T$, וה-תדר הזוויתי $\omega = 2\pi/T$ מתארים את הקצב. קפיץ מספק $T = 2\pi\sqrt{m/k}$; מטרון מספק $T = 2\pi\sqrt{L/g}$. התקופה אינה תלויה במשרעת, וכל נוסחה מתעלמת מדבר אחד — הקפיץ מתעלם מכבידה, המטרון מתעלם ממסת הכדור.