מערכות ומרכז מסה
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| center of mass/ˈsentə ɒv mæs/ | מרכז מסה |
| system/ˈsɪstəm/ | מערכת |
| internal forces/ɪnˈtɜːnl ˈfɔːsɪz/ | כוחות פנימיים |
| external forces/ekˈstɜːnl ˈfɔːsɪz/ | כוחות חיצוניים |
| point particle/pɔɪnt ˈpɑːtɪkl/ | נקודת חומר |
| integral/ˈɪntɪɡrəl/ | אינטגרל |
| net external force/net ekˈstɜːnl fɔːs/ | כוח חיצוני נטו |
השלך מברג מסתובב
- זרוק מברג חוצה החדר והוא מתהפך באופן סוער -- אך נקודה אחת בודדת מעקבת אחר קשת חלקה ופשוטה.
- הנקודה המיוחדת הזו היא מרכז הכובד.
- ללא תלות בכיצד גוף מסתובב או מתנדנד, מרכז הכובד שלו נע כאילו כל המסה הייתה דחוסה לתוך אותה נקודה אחת.
- מצא אותו, ובעיית ההתהפכות המבולגנת הופכת לבעיית נקודת-מסה פשוטה.
טפל במערכת כאילו היא נקודה אחת
- מערכת היא כל קבוצה של עצמים שבחרנו לחקור יחד.
- כוחות בתוך המערכת הם כוחות פנימיים; כוחות מבחוץ הם כוחות חיצוניים.
- כל המערכת נעה כאילו היא נקודת חלקיק אחת הממוקמת במרכז הכובד שלה.
בחר את כל האמיתיות לגבי מרכז הכובד.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
השתי ראשונות הן הכללים הבסיסיים. השלישית שגויה -- זהו המרכז המשוקל במסה, לא אמצע הצורה.
מרכז כובד של מסות דיסקרטיות
- עבור נקודות-מסה נפרדות לאורך קו, מרכז הכובד הוא מיקום ממוצע משוקלל על פי המסה:
- מסות כבדות יותר מושכות את מרכז הכובד לכיוונן.
מסה $1\ \text{kg}$ נמצאת ב$x = 0$ ומסה $3\ \text{kg}$ נמצאת ב$x = 4\ \text{m}$. היכן נמצא מרכז הכובד (במטר)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$x_{cm} = \dfrac{1(0) + 3(4)}{1 + 3} = \dfrac{12}{4} = 3\ \text{m}$ -- קרוב למסה הכבדה יותר.
הזזת מסה אחת הרחק מהאחרות. מרכז הכובד...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הממוצע המשוקל במסה עוקב אחר המסה -- הזזת מסה החוצה מושכת את $x_{cm}$ אליה.
מסה $2\ \text{kg}$ ב$x=0$, $2\ \text{kg}$ ב$x=2$, ו$4\ \text{kg}$ ב$x=5$. מצאו את $x_{cm}$ (במטר).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$x_{cm} = \dfrac{2(0)+2(2)+4(5)}{2+2+4} = \dfrac{24}{8} = 3\ \text{m}$.
מרכז כובד באמצעות אינטגרציה
- עבור גוף רציף, החלף את הסכום ב-אינטגרל לאורך המסה שלו:
- חתוך את הגוף למקטעים זעירים $dm$, שקלל כל אחד לפי מיקומו, וחבר אותם יחד.
מרכז מסה של מערכת
לחץ על החלקים כדי לראות היכן ממוקם מרכז המסה של מערכת דו-גוף.
עבור גוף רציף, הסכום בנוסחת מרכז הכובד הופך ל____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$x_{cm} = \tfrac{1}{M}\int x\,dm$ -- אינטגרל על פיזור המסה.
רק כוחות חיצוניים מיישרים אותו
- מרכז הכובד מאיץ רק כתוצאה מהכוח החיצוני הכולל.
- כוחות פנימיים -- בין אם הם חזקים מאוד -- לעולם אינם יכולים להזיז את מרכז הכובד.
- לכן, מרכז הכובד של המפתח המתהפך עוקב אחר אותה מסלול חלק שכל כדור פשוט שהושלך יעבור.
פיצוץ סמוי בתוך מערכת צפה (ללא כוחות חיצוניים) יכול להזיז את מרכז הכובד שלה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כוחות הפיצוץ הם פנימיים, ולכן אינם יכולים להזיז את מרכז הכובד. רק כוח חיצוני נטו יכול לעשות זאת.
מסה $2\ \text{kg}$ נמצאת בנקודה $x = 0$ ומסה $4\ \text{kg}$ בנקודה $x = 3\ \text{m}$.
- $x_{cm} = \dfrac{2(0) + 4(3)}{2 + 4} = \dfrac{12}{6} = 2\ \text{m}$.
- מרכז המסה נמצא קרוב יותר למסה הכבדה יותר $4\ \text{kg}$, כפי צפוי.
מרכז הכובד אינו תמיד המרכז הגיאומטרי. עבור מוט אחיד הוא הוא האמצע, אך אם מטעין קצה אחד, מרכז הכובד זז לכיוון הקצה הכבד -- זהו ממוצע משקלי-מסה, ולא אמצע הצורה.
מרכז הכובד הוא המיקום המשוקלל לפי מסה: $x_{cm} = \dfrac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$ (או $\tfrac{1}{M}\int x\,dm$ לגוף רציף). מערכת כולה נעה כאילו כל מסתה מרוכזת בנקודה זו, ורק הכוח החיצוני הכולל יכול לאיץ אותה.