גלילה
הוצגמירוץ במגל: איזה גלגל יזכה?
- גלגלו דיסק מוצק וטבעת חלולה אותו מגל. הם מתחילים יחד – אבל הדיסק מנצח בכל פעם.
- גוף גולל עושה שתי דברים בו-זמנית: מתקדם קדימה וסובב.
- האנרגיה שלו מחולקת בין שני הסוגים, והחלוקה תלויה בצורה.
- הבנת חלוקה זו היא המפתח לתנועת גלילה.
שני סוגי אנרגיה קינטית בו-זמנית
- לגוף מתגלגל יש אנרגיה קינטית תרגולית $\tfrac12 mv^2$ וגם אנרגיה קינטית סיבובית $\tfrac12 I\omega^2$.
- האנרגיה הקינטית הכוללת שלו היא הסכום: $E_k = \tfrac12 mv^2 + \tfrac12 I\omega^2$.
- גלילה ללא החלקה מקשרת בין השתיים דרך $v = r\omega$.
- האנרגיה המשתחררת (למשל ממדרגון) חייבת למלא את שני החשבונות.
אנרגיה קינטית כוללת של גוף מגלגל היא:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
גוף המגלגל נע ומסתובב, ולכן האנרגיה הקינטית שלו היא הסכום $\tfrac12 mv^2 + \tfrac12 I\omega^2$.
גלילה ללא החלקה מקשרת בין מהירות קווית לזוויתית באמצעות $v = r\_\_$ (השלם בסמל).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$v = r\omega$ מקשר את הקצב שבו הגוף עובר מרחק לקצב הסובבה שלו.
מדוע דיסק מוצק מנצח
- לטבעת יש יותר אינרציה סיבובית, ולכן חלק גדול יותר מאנרגיה שלה הופך לסיבוב.
- זה משאיר פחות אנרגיה לתנועה, ולכן הטבעת מאיצה לאורכי הדריינה לאט יותר.
- הדיסק המוצק שומר יותר אנרגיה לתרגול ומגיע לסוף ראשונה.
- הצורה קובעת את המירוץ, לא המשקל — דיסק כבד וקל באותה צורה יסיימו במקביל.
דיסק מוצק וטבעת חלולה באותו מסה ואותו רדיוס מגלילים למטה על משטח משופע. איזו תגיע לתחתון ראשונה?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לטבעת יש יותר מומנט זוולי, לכן יותר אנרגיה הולכת לסבוב, והשארית להזזה פחותה — הדיסק מנצח.
בחר את כל האמיתות לגבי גוף הנגלל ללא החלקה.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
גלילה משלבת תנועת מערכת-מרכזית וסיבוב, פועלת לפי $v = r\omega$, ולקוחט המגע יש מנוחה רגעית — אך לא כל האנרגיה היא סיבובית.
נקודת המגע רגועה לרגע
- בגלילה ללא החלקה, הנקודה המוחזקת בקרקע נמצאת במנוחה רגעית.
- המרכז נע במהירות $v$, והחלק העליון של הגלגל נע במהירות $2v$.
- מכיוון שנקודת המגע אינה מחליקה, פועל חיכוך סטטי – שאינו מבצע עבודה.
- זוהי הסיבה לכך שגלגל מתגלגל מאבד כל כך מעט אנרגיה בהשוואה לקובע מחליק.
גלילה ללא החלקה
לגלגל שמגליל ללא החלקה, v = r omega. סווג כל מקרה.
לגלגל שמגליל ללא החלקה, הנקודה הנוגעת בקרקע נמצאת בזמן אמת במנוחה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
נקודת המגע היא בעלת מהירות אפס ברגע זה; החלק העליון נע במהירות $2v$.
האנרגיה של גוף מתגלגל אינה רק $\tfrac12 mv^2$. יש להוסיף את החלק הסיבובי $\tfrac12 I\omega^2$. שכחת האיבר הסיבובי תוביל למהירות גבוהה מדי בסוף הדרגון – טעות נפוצה מאוד.
דיסק מוצקה ($I = \tfrac12 mR^2$) גוללת ללא החלקה. מהו השבר של אנרגיית התנועה שלה שהיא אנרגיה סיבובית? (תן מספר עשרוני).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
אנרגיה סיבובית $= \tfrac14 mv^2$, אנרגיית תנועה מערכת-מרכזית $= \tfrac12 mv^2$; שבר $= \tfrac{1/4}{3/4} = \tfrac13 \approx 0.33$.
דיסק מוצק ($I = \tfrac12 mR^2$) מתגלגל ללא החלקה במהירות $v$. מהו השבר של אנרגיית הקינטיקה שלו שהוא אנרגיית סיבוב?
- אנרגיית סיבוב: $\tfrac12 I\omega^2 = \tfrac12(\tfrac12 mR^2)(v/R)^2 = \tfrac14 mv^2$.
- אנרגיית מעבר: $\tfrac12 mv^2$. לכן, אנרגיית הסיבוב היא $\tfrac{1/4}{1/4 + 1/2} = \tfrac13$ מהסה"כ.
גוף מתגלגל יש לו גם אנרגיית קינטיקה של מעבר ⟨$\tfrac12 mv^2$⟩ וגם אנרגיית קינטיקה סיבובית ⟨$\tfrac12 I\omega^2$⟩, הקשורים על ידי $v = r\omega$. אובייקטים עם אינרציה סיבובית גדולה יותר משקיעים יותר אנרגיה בסיבוב, ולכן הם מתגלגלים לאט יותר על גבי רמפה. נקודת המגע נמצאת רגעית במנוחה, ולכן חיכוך הגלילה אינו מבצע עבודה.