החוק השני של ניוטון בצורת סיבובית
הוצגסובבו חזק יותר כדי להאיץ — אבל גלגלים גדולים מתנגדים
- תנו לגלגל אופניים זעירה חזקה והוא יתאץ במהירות; פריילwheel כבד כמעט לא מגיב לאותו סובב.
- מומנט גדול יותר מאיץ את הגוף מהר יותר; אינרציה סיבית גדולה יותר מתנגדת לשינוי.
- קיים משוואה אחת הקושרת בין מומנט, אינרציה ואיץ זוויתי.
- זוהי חוק השני של ניוטון — מותאם לסיבוי.
חוק השני בסיבוי
- המומנט הנטו שווה לאינרציה סיבית כפול האיץ הזוויתי: $\sum \tau = I\alpha$.
- מסודר מחדש: $\alpha = \dfrac{\sum \tau}{I}$ — הסחיבה שהמומנט מפיק.
- מומנט גדול יותר ⇒ מומנט זוויתי גדול יותר $\alpha$; כוח גדול יותר $I$ ⇒ מרחק קטן יותר $\alpha$.
- זוהי העתק מדויק של $\vec F = m\vec a$, כאשר הגדלים הסיביים הוחלפו במקום.
מומנט נטו של $12\ \text{N·m}$ פועל על גלגלת עם $I = 3\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$. מהי התאוצה הזוויתית, ב-$\tfrac{\text{rad}}{\text{s}^2}$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\alpha = \sum\tau / I = 12/3 = 4\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}^2}$.
מהו המומנט הנטו שנותן לגלגלת בעלת $I = 2\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$ תאוצה זוויתית של $5\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}^2}$? תשובה ב-$\text{N·m}$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tau = I\alpha = 2 \times 5 = 10\ \text{N·m}$.
החוק השני הסיבובי הוא מומנט נטו $= I\_\_$ (מלא את הגודל הזוויתי).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\sum\tau = I\alpha$ — אינרציה כפול תאוצה זוויתית.
האנלוגיה המלאה
- כוח $\to$ מומנט $\tau$; מסה $\to$ אינרציה סיבובית $I$; תאוצה $\to$ תאוצה זוויתית $\alpha$.
- לכל חוק קווי יש שותף סיבובי המתקבל על ידי החלפה זו.
- $F = ma$ הופך ל$\tau = I\alpha$; תנע $mv$ הופך לתנע זוויתי $I\omega$.
- אם תלמד עמודה אחת, תקבל את השנייה בחינם.
בחוק השני הסיבובי $\tau = I\alpha$, איזה גודל ממלא את תפקיד המסה?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אינרציה סיבובית $I$ היא המקביל הסיבובי למסה — ההתנגדות לתאוצה זוויתית.
התאם כל כמות סיבובית לאנלוג הליני שלה.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tau \leftrightarrow F$, $I \leftrightarrow m$, $\alpha \leftrightarrow a$ ממירים אנרגיה, $F = ma$, לסוג אחר, $\tau = I\alpha$.
מדוע גלגלים כבדים איטיים
- אינרציה סיבובית גדולה ($I$) (מסה הרחוקה מהציר) אומרת שמומנט נתון ייצר רק תאוצה זוויתית קטנה ($\alpha$).
- גלגלי משקולת משתמשים בזה במתכונת מכוונת — הם מתנגדים לשינויים בסביבה, ומחלקים את סיבוב המנוע.
- כדי להאיץ גלגל כבד במהירות נדרש מומנט גדול.
- אותו מומנט, אינרציה גדולה יותר ⇒ האיטה איטית יותר להתחלת סיבוב, ואיטית יותר לעצור.
חוק השני של ניוטון לסיבוב
מומנט גורם לתאוצה זוויתית ביחס ישר לאינרציה הסיבובית: מומנט = I כפול אלפא.
עבור אותו מומנט נטו, אינרציה סיבובית גדולה יותר נותנת תאוצה זוויתית קטנה יותר.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\alpha = \tau / I$: מכנה גדול יותר של $I$ מביא לערך קטן יותר של $\alpha$.
החוק השני הסיבובי משתמש במומנט נקי, לא בכוח, ובאינרציה סיבובית, לא במסה. אל תציב מסה פשוטה בתוך $\tau = I\alpha$ — עליך להשתמש ב$I = \sum mr^2$, שתלויה באופן סידור המסה.
מומנט נקי של $12\ \text{N}\cdot\text{m}$ פועל על גלגל בעל אינרציה סיבובית של $I = 3\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$.
- $\alpha = \dfrac{\sum \tau}{I} = \dfrac{12}{3} = 4\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}^2}$.
הכפלת האינרציה הסיבובית והאותו מומנט נותן רק $2\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}^2}$.
החוק השני של ניוטון לסיבוב: $\sum \tau = I\alpha$, ולכן $\alpha = \sum\tau / I$. הוא משקף את $F = ma$ עם מומנט במקום כוח, אינרציה סיבובית במקום מסה, ותאוצה זוויתית במקום תאוצה. אינרציה סיבובית גדולה ($I$) גורמת לגוף להיות איטי בהתחלת סיבוב או בהאטה.