וקטורים ותנועה במישור
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| component/kəmˈpəʊnənt/ | רכיב |
| resultant/rɪˈzʌltənt/ | תוצא |
| projectile/prəˈdʒektaɪl/ | פרוביל |
מטוס טס צפון-מזרח — שתי תנועות באחת
- חץ אחד מצביע "צפון-מזרח", אך המטוס בפועל נע מזרחה וצפונה בו-זמנית.
- כמעט אף תנועה אמיתית היא פשוט שמאל-ימין או למעלה-למטה.
- הטריק של קינמטיקה דו-ממדית: פצל כל וקטור לחלקים מאונכים זה לזה.
- טפל בחלקים בנפרד, ואז חבר אותם יחד.
פירוק לרכיבים
- כל וקטור יכול להיות מוחלף על ידי שני מרכיבים מאונכים זה לזה — אחד לאורך $x$, אחד לאורך $y$.
- יחד, שני המרכיבים יוצרים בדיוק את אותו אפקט כמו הוקטור המקורי.
- בחר צירים שמקלים על הפתרון (לרוב אופקי ואנכי).
- למרכיבים יש סימנים, כך ש"שמאל" ו"למטה" הם פשוט ערכים שליליים.
הנוסחאות למרכיבים
- עבור וקטור $\vec A$ בגודל $A$ ובזווית $\theta$ מעל ציר ה$x$:
- $A_x = A\cos\theta$ ו$A_y = A\sin\theta$.
- נוסחות אלו נובעות ישירות מהמשולש הישר הזווית שהוקטור יוצר עם המרכיבים שלו.
- חזרה לאחור: $A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$ ו$\theta = \tan^{-1}\!\big(\tfrac{A_y}{A_x}\big)$.
מהירות של $10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ מופנית $37^\circ$ מעל האופק. הרכיב האופקי שלה הוא $10\cos 37^\circ$. עם $\cos 37^\circ = 0.8$, מהי $v_x$ ב$\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$v_x = A\cos\theta = 10 \times 0.8 = 8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
אותה מהירות, הרכיב האנכי הוא $10\sin 37^\circ$. עם $\sin 37^\circ = 0.6$, מהי $v_y$ ב$\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$v_y = A\sin\theta = 10 \times 0.6 = 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
לקטור יש רכיבים $A_x = 3$ ו$A_y = 4$. מה גודלו?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. לא $3+4=7$ — הרכיבים מאונכים זה לזה.
הרכיב האופקי של וקטור $A$ בזווית $\theta$ הוא $A$ ____ $\theta$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הצד הסמוך למשולש הישר זווית הוא $A\cos\theta$, לכן $A_x = A\cos\theta$.
חיבור וקטורים על ידי רכיבים
- כדי לחבר וקטורים, הוסיפו את הרכיבי $x$ ובנפרד הוסיפו את הרכיבי $y$.
- לעולם אל תסכמו גודלים ישירות — דבר זה עובד רק אם הם מצביעים באותה כיוון.
- הסכומים $(\Sigma A_x,\ \Sigma A_y)$ הם הרכיבים של המגמה.
- איחדו מחדש עם $\sqrt{\;}$ ו$\tan^{-1}$ כדי לקבל את הגודל והכיוון שלו.
להוסיף שני וקטורים על ידי רכיבים
גרור שני וקטורים וצפה ב resultant — הרכיבים שלו הם סכומי החלקים.
סדר את השלבים להוספת שני וקטורים באמצעות רכיבים, השלב הראשון למעלה.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
פצל, חבר רכיב-ברכיב, ואז איחד גודל וכיוון.
תנועות מאונכות הן עצמאיות
- התנועה ב$x$ והתנועה ב$y$ מתפתחות בנפרד — אחת אינה משפיעה על השנייה.
- הכבידה מושכת רק כלפי מטה, ולכן היא משנה $v_y$ אך משאירה $v_x$ ללא שינוי.
- עצמאות זו היא סודו של תנועת פרויקטייל (נושא 2).
- השליכו כדור למטה וירו אותו אופקית בו-זמנית: שניהם ייפלו יחד.
החלקים האופקיים והאנכיים של תנועה דו-ממדית הם עצמאיים זה מזה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
רכיבים מאונכים מתפתחים בנפרד — הכבידה משנה $v_y$ אך לא $v_x$. זו הבסיס לתנועת פרוזקטייל.
אי אפשר להוסיף שני וקטורים על ידי סיכום גדליהם אלא אם כן הם מצביאים לאורך אותה קו. וקטור יחיד ב$3$ פלו וקטור יחיד מאונך ב$4$ נותן $5$, ולא $7$ — פרקו לרכיבים (או השתמשו במשולש) תחילה.
פרקו מהירות של $10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ המכוונת בزاوية $37^\circ$ מעל האופק (לקחו $\cos 37^\circ \approx 0.8$, $\sin 37^\circ \approx 0.6$).
- $v_x = 10\cos 37^\circ \approx 8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- $v_y = 10\sin 37^\circ \approx 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
בדיקה: $\sqrt{8^2 + 6^2} = 10$. ✓
פצל וקטור בעל 2 ממדים למרכיבים מאונכים: $A_x = A\cos\theta$, $A_y = A\sin\theta$. הוסף וקטורים על ידי חיבור מרכיבי $x$ ו-$y$ בנפרד, ואז שלב מחדש עם $A = \sqrt{A_x^2+A_y^2}$. תנועות מאונכות הן בלתי תלויות — הדבר המרכזי בחפצים זורקים.