ייצוג פונקציות כסדרת חזקות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/ | סדרת חזקות |
שימוש בסדרות ידועות לבניית חדשות
- אין צורך לחשב כל סדרת טיילור מנגזרות. עבד עם אלו שיש לך.
- התחל מהסדרה הגיאומטרית $\frac{1}{1-x}=\sum x^n$ או מהסדרה $e^x,\sin,\cos$.
- הצבה, כפל, גזירה או אינטגרציה כדי לייצג פונקציה חדשה כ-סדרת חזקות.
- זו אלגברה על סדרות — מהיר וחכם.
הצבה וכפל
- הצב ביטוי עבור $x$: החלף $x$ ב-$-x^2$ בתוך $\frac1{1-x}$ כדי לקבל את $\frac{1}{1+x^2}=\sum(-x^2)^n=\sum(-1)^n x^{2n}$.
- כפול סדרה בחזקה של $x$ או בקבוע: $x\cdot e^x=\sum\frac{x^{n+1}}{n!}$.
- כל פעולה משאירה סדרת חזקות תקפה (כוון את מרווח ההתכנסות בהצבות).
- אין צורך בגזירות חדשות — רק הצב ושווה.
בנייה מסדרה גיאומטרית
y = a / (1 − b·x)
הצבת $-x^2$ ב$\tfrac{1}{1-x}=\sum x^n$ יוצרת את הסדרה עבור $\tfrac{1}{1+x^2}$ — ללא צורך במשוואות נוספות.
הצבת $u=-x^2$ ב$\tfrac{1}{1-u}=\sum u^n$ מובילה ל$\tfrac{1}{1+x^2}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$(-x^2)^n=(-1)^n x^{2n}$.
אילו פעולות יוצרות סדרות חזקות חדשות מסדרות ידועות?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הצבה, קנה מידה/כפל, גזירה, אינטגרציה — לא הפרעה אקראית.
גזירה ואינטגרציה איבר-לאיבר
- בתוך מרווח ההתכנסות, סדרת חזקות ניתנת ל-גזירה או ל-אינטגרציה איבר-לאיבר.
- אינטגרל את $\frac{1}{1+x^2}=\sum(-1)^n x^{2n}$ כדי לקבל את $\arctan x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$.
- גזור סדרה כדי לקבל את סדרת הנגזרת שלה.
- פעולות אלו מייצרות סדרות מפורסמות (כמו $\arctan$ ו-$\ln(1+x)$) מסדרות פשוטות יותר.
בתוך תחום ההתכנסות, ניתן לבצע גזירה ואינטגרציה של סדרת חזקות מונו-למונו.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
פעולה תקפה בתוך תחום ההתכנסות.
אינטגרציה של $\sum(-1)^n x^{2n}$ מונו-למונו מובילה לסדרה עבור...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\int\tfrac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x$.
ערכת כלים חזקה
- הצבה, קנה מידה, כפל, גזירה, אינטגרציה — חמש פעולות, אינסוף סדרות חדשות.
- זה לעיתים קרובות מהר הרבה יותר מחישוב ישיר של נגזרות גבוהות.
- הסדרה החדשה תורשת (בערך) את רדיוס ההתכנסות של הסדרה שהתחלת ממנה.
- זיהוי הפעולה המתאימה להחלה הוא המיומנות האמיתית.
אינטגרציה של סדרת חזקות מונו-למונו מביאה לקבוע ____, הנקבע על ידי ערך ידוע.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
למשל: $\arctan 0=0$ קובע את $C=0$.
הצבת $x\to -x^2$ יכולה לשנות את תחום ההתכנסות.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
נגזור מחדש את התחום במשתנה החדש.
גזירה ואינטגרציה איבר-איבר תקפים רק בתוך מרווח ההתכנסות (ואינטגרציה מוסיפה $+C$ — קבע אותו עם ערך ידוע, לדוגמה $\arctan 0=0$). כאשר אתה מציב (כמו $x\to -x^2$), מרווח ההתכנסות משתנה גם כן — גזור מחדש לפי המשתנה החדש.
מצא סדרת חזקות עבור $\dfrac{1}{1+x^2}$.
- התחל מ-$\dfrac{1}{1-u}=\sum u^n$ והצב $u=-x^2$.
- $\dfrac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty(-x^2)^n=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n x^{2n}=1-x^2+x^4-\cdots$ (עבור $|x|<1$).
כדי לייצג פונקציה כ-סדרת חזקות, עיבוד סדרה ידועה: הצבה, כפל/סקאלה, או גזירה/אינטגרציה איבר-לאיבר (בתוך תחום ההתכנסות; אינטגרציה מוסיפה ⟨$+C$⟩). לדוגמה, הצבה בתוך $\frac{1}{1-x}$ ואינטגרציה מובילים לסדרה עבור $\frac{1}{1+x^2}$ ו-$\arctan x$.