רדיוס וטווח התכנסות של סדרת חזקות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/ | סדרת חזקות |
| radius of convergence/ˈreɪdɪəs ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | רדיוס קונרגציה |
| interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | רוחב קונרגציה |
מתי סדרת כוחות משמעותית?
- סדרת כוחות היא פולינום אינסופי: $\sum c_n(x-a)^n$ — כמו סדרת טיילור עם משתנה $x$.
- היא מתכנסת עבור SOME $x$ ומתפררת עבור אחרים. איזה $x$?
- התשובה היא קטע הממוקד ב-$a$, הנמדד על ידי רדיוס ההתכנסות $R$.
- מציאת $R$ והנקודות הקצה המדויקות היא המטרה.
רדיוס ההתכנסות
- סדרת כוחות מתכנסת עבור $|x-a|<R$ ומתפררת עבור $|x-a|>R$.
- $R$ הוא רדיוס: הסדרה מתכנסת בתוך מרחק $R$ מהמרכז $a$.
- שלושה אפשרויות: $R=0$ (רק ב-$a$), $R=\infty$ (כל $x$), או רדיוס סופי $R$.
- מצא את $R$ באמצעות מבחן היחס על איברי הסדרה.
טווח ההתכנסות
סדרת חזקות מתכנסת בתוך רדיוס $R$ מהמרכז שלה — הטווח נע בין $a-R$ ל-$a+R$, והנקודות הקיצוניות נבדקות בנפרד.
סדרת חזקות $\sum c_n(x-a)^n$ מתכנסת עבור...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
בתוך רדיוס $R$ מהמרכז $a$.
רדיוס ההתכנסות $R$ יכול להיות...
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
רדיוס לעולם אינו שלילי.
מציאת R מהמבחן ליחס
- יישמו את מבחן היחס: שויו $\lim\big|\tfrac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n(x-a)^n}\big|<1$ ופתרו עבור $|x-a|$.
- אי-השוויון הזה הוא בצורת $|x-a|<R$, המ revealing (חושף) ישירות את רדיוס ההתכנסות.
- המרכז הוא $a$; המרווח נע בין $a-R$ ל$a+R$.
- מבחן היחס עושה את העבודה הכבדה — האלגברה פשוט מבודדת את $|x-a|$.
עבור $\sum\tfrac{x^n}{n}$, מבחן המנה נותן $|x|<1$. מהי ערך $R$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$R=1$.
את רדיוס ההתכנסות מוצאים בדרך כלל באמצעות...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מבחן המנה על האיברים חושף $|x-a|<R$.
בדקו את הקצוות בנפרד
- מבחן היחס אינו קובע בקצוות $x=a\pm R$ (שם $L=1$).
- לכן, בדקו כל קצה בנפרד על ידי הצבתו ובחינה עם מבחן סדר אחר.
- תחום ההתכנסות עשוי לכלול אף אחד מהקצוות, קצה אחד או שניהם.
- כתבו את התחום עם סוגרי הפתיחה/סגירה הנכונים לאחר בדיקת שני הקצוות.
מבחן המנה אינו מכריע בקצוות, שיש לבדוק בנפרד.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
עבור $x=a\pm R$, $L=1$; השתמש במבחן אחר.
עבור $\sum\tfrac{x^n}{n}$: $x=1$ מתפזר, $x=-1$ מתכנס. טווח ההתכנסות הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
להכליל את $-1$ (מתכנס), לא להכליל את $1$ (מתפזר).
מבחן היחס מספק את הרדיוס אך אינו קובע בקצוות — עליכם לבדוק את $x=a-R$ ואת $x=a+R$ בנפרד (ייתכן שהם יתכנסו או יתפזרו באופן עצמאי). אל תניחו שהתחום פתוח או סגור; התשובה עשויה להיות $[a-R,a+R)$, $(a-R,a+R]$ ועוד. בדקו את שני הקצוות בכל פעם.
מצאו את רדיוס ההתכנסות ותחום ההתכנסות של $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n}$.
- מבחן היחס: $\lim\big|\tfrac{x^{n+1}/(n+1)}{x^n/n}\big|=|x|\cdot\lim\tfrac{n}{n+1}=|x|<1$, ולכן $R=1$.
- קצוות: $x=1\Rightarrow\sum\tfrac1n$ (מתפזר); $x=-1\Rightarrow\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ (מתכנס).
- תחום ההתכנסות: $[-1,1)$.
סדרה חזקה $\sum c_n(x-a)^n$ מתכנסת עבור $|x-a|<R$, כאשר $R$ הוא רדיוס ההתכנסות (הנתון באמצעות מבחן היחס). תחום ההתכנסות הוא בין $a-R$ ל$a+R$, כאשר הקצוות נבדקים בנפרד (כי מבחן היחס אינו קובע בהם) כדי לקבוע האם הסוגריים פתוחים או סגורים.