גבול שגיאת לאג'ראנז'
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| Lagrange error bound/ˈlæɡreɪndʒ ˈerə baʊnd/ | גבול שגיאת לאג'רנג' |
הגבלת שגיאה בפולינום טיילור
- פולינום טיילור הוא רק קירוב. כמה הוא יכול להישע?
- גבול השגיאה של לגראנז' מספק גג מובטח לשארית.
- הוא משתמש בנגזרת הבאה — זו הראשונה שאין לפולינום התאמה לה.
- באמצעותו ניתן להוכיח שקירוב הוא מדויק עד לרמת סטייה דרישה.
הגבול
- שגיאת פולינום טיילור בדרגת-$n$ $P_n$ ב-$x$ מקיימת:
-
$$|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}\,\big|x-a\big|^{\,n+1}$$
- כאן $M$ הוא מקסימום של $\big|f^{(n+1)}\big|$ במרווח שבין $a$ לבין $x$.
- זה נראה כמו האיבר הבא בסדרת טיילור, אך עם ההחלפת הנגזרת בגודלה הגרוע ביותר $M$.
הרווח שגבול זה חוסם
y = a·e^{bx}
גבול לאג'ראנז' חוסם את הרווח בין $e^x$ לבין פולינום טיילור באמצעות המקסימום של הנגזרת הבאה $M$.
גבול השגיאה של לאג'ראנז' הוא $|R_n(x)|\le$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
משתמש בגבול הנגזרת ה-$(n+1)$ וב-$(n+1)!$.
מציאת החלקים
- $(n+1)$: אחד יותר מדרגת הפולינום — סדר האיבר החסר הראשון.
- $M$: גבול לערך המוחלט של הנגזרת ה-$(n+1)$ בין $a$ ל-$x$ (השתמש בגדולה שהיא מגיעה אליה).
- $|x-a|^{n+1}$: המרחק מהמרכז, מוגבה לכוח הזה.
- כפל, חלק ב-$(n+1)!$, ויש לך גג שגיאה מובטח.
לפולינום בדרגה-$n$, אילו נגזרות חוסמת $M$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אחת מעבר לדרגה: הנגזרת ה-$(n+1)$ית.
בגבול, $M$ הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
גבול גרוע-מקרה עבור הנגזרת הבאה.
הוכחת דיוק
- כדי להראות ש-$P_n$ נמצא בתוך, למשל, $0.001$: חשב את גבול לג'רנג' ובדוק שהוא קטן מ-$\le 0.001$.
- מכיוון שהגבול מעריך באופן יתר את השגיאה האמיתית, אם הגבול קטן, השגיאה האמיתית קטנה ממנו.
- ערכים גדולים יותר של $n$ מקטינים את הגבול (פונקציית פקטוריאל גדולה יותר, דיוק גבוה יותר).
- זוהי הלווייה הקפדנית לא approximation טיילור.
עם $M=1.2$, $n=2$, $x=0.1$, $a=0$: $\dfrac{1.2}{3!}(0.1)^3=$ ? (מספר עשרוני)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{1.2}{6}\cdot0.001=0.0002$.
הגבול של לאגראנז הוא גבול על מובטח, בדרך כלל גדול מהשגיאה בפועל.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אם הגבול קטן, השגיאה האמיתית היא קטנה יותר.
הגדלת הדרגה $n$ לרוב מקטינה את גבול השגיאה...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
פאקטוריאלי גדול יותר מצמצם את הגבול → דיוק גבוה יותר.
השתמש ב-גזירה $(n+1)$ ובפקטוריאל $(n+1)!$ — אחת מעבר לדרגת הפולינום, ולא $n$. $M$ הוא ה-מקסימום של $|f^{(n+1)}|$ על הקטע בין $a$ ל-$x$ (גבול מקרה רע, ולכן בחר ערך שתוכל להסביר שהוא מספיק גדול). הגבול הוא הבטחה, בדרך כלל גדולה מהשגיאה בפועל.
חשב גבול לשגיאת הפולינום מקלורין בדרגה-$2$ עבור $e^x$ בנקודה $x=0.1$.
- הגזירה הבאה: $f'''(x)=e^x$; על $[0,0.1]$, ערך $M=e^{0.1}\le 1.2$.
- $|R_2(0.1)|\le \dfrac{1.2}{3!}\,(0.1)^3=\dfrac{1.2}{6}(0.001)=0.0002$.
- לכן $1+0.1+\tfrac{0.01}{2}=1.105$ נמצא בתוך $0.0002$ של $e^{0.1}$. ✓
גבול שגיאת לג'רנג': $|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$, כאשר $M$ מגביל את הגזירה ה-$(n+1)$ על הקטע בין $a$ ל-$x$. זהו האיטרם הבא בטאילור עם הגזירה מחולפת בערכה המקסימלי — סף שגיאה מובטח להוכחה שה aproximation עומדת בסטייה המותרת.