מציאת קירובים של פולינומי טיילור לפונקציות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | פולינום טיילור |
| Maclaurin polynomial/məˈklɔːrɪn ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | פולינום מקלורן |
קירוב פונקציה עם ריבוע
- ליניאריזציה (יחידה 4) השתמשה במשיק כדי לקרב פונקציה. מדוע לעצור בקו ישר?
- פולינום טיילור תואם את ערך הפונקציה וגם מספר נגזרות בנקודה.
- ככל שהיא תואמת יותר נגזרות, כך היא צמודה טוב יותר לעקומה בסמוך.
- פולינומים קלים לחישוב, ולכן הם מחליף חזק לפונקציות מורכבות.
בניית הפולינום
- במרכז $x=a$, פולינום טיילור בדרגת $n$ הוא:
-
$$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots$$
- כל איבר משתמש ב$k$-הנגזרת ב$a$, מחולק ב$k!$, כפול $(x-a)^k$.
- החלק בדרגה-$1$ הוא בדיוק הליניאריזציה; איברים גבוהים מוסיפים עיקום.
האיבר ה$k$-י של פולינום טיילור שמרכזו ב$a$ הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הנגזרת ב$a$, מחולקת ב$k!$, כפול ⟨$(x-a)^k$⟩.
כל נגזרת בפולינום טיילור מוערכת ב________ ⟨$a$⟩.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
השתמש ב$f^{(k)}(a)$, לא ב$f^{(k)}(x)$.
מקלורן: במרכז אפס
- פולינום מקלורן הוא פשוט פולינום טיילור הממוקם ב$a=0$.
- $P_n(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots$ — ה$(x-a)$ מכפלות הופכות ל$x^k$ רגילות.
- הנפוצים שווה לשנן: $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ יש להם פולינומי מקלורן נקיים.
- אותו מתכון, ממוקם במקור.
פולינום מקלורין הוא פולינום טיילור שמרכזו ב...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מקלורין = ממוקד ב$0$.
טוב יותר בסמוך למרכז
- הקירוב הוא הטוב ביותר בסמוך ל$x=a$ והולך ומחמיר ככל שמרחקים.
- הוספת איברים נוספים (דרגה גבוהה) משפרת את הדיוק בטווח רחב יותר.
- התאם ערך, שיפוע, עיקום ועוד – כל נגזרת קובעת מאפיין נוסף.
- המשיק הוא פשוט שני האיברים הראשונים של הרעיון הגדול הזה.
פולינום המסתנן עם eˣ
y = a·e^{bx}
הפולינום מקלורין בדרגה-2 ⟨$1+x+\tfrac{x^2}{2}$⟩ מסתנן עם ⟨$e^x$⟩ בקרבת ⟨$0$⟩ — יותר איברים הרחיבים את הטווח הטוב.
הפולינום מקלורין בדרגה-2 עבור ⟨$e^x$⟩ הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
כל הנגזרות של ⟨$e^x$⟩ ב$0$ הן ⟨$1$⟩.
האיבר של טיילור מחלק את הנגזרת ה$k$-ית ב$k!$ (פקטוריאל).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
חלק ב$k!$, לא ב$k$.
הערכת פולינום טיילור מדויקת ביותר...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הדיוק הטוב ביותר קרוב ל-$a$ ומשתפר עם הוספת איברים נוספים.
אל תשליכו את הפאקטוריאלים: האיבר ה-$k$ הוא $\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ — חלקו ב-$k!$, לא רק ב-$k$. חשב כל נגזרת במרכז $a$ (לא ב-$x$). והקירוב טוב רק סביב $a$; רחוק מכך, פולינום טיילור מקוצר יכול להיות מרחיק מאוד מהערך האמיתי.
מצא את פולינום מקלורן בדרגת-$2$ עבור $f(x)=e^x$.
- $f(0)=1$, $f'(0)=1$, $f''(0)=1$ (מכיוון שכל הנגזרות של $e^x$ הן $e^x$).
- $P_2(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2=1+x+\frac{x^2}{2}$.
- סביב $0$, $e^x\approx 1+x+\tfrac{x^2}{2}$ (למשל $e^{0.1}\approx1.105$). ✓
פולינום טיילור שמרכזהו $a$ הוא $P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ — תואם את ערך הפונקציה ואת הנגזרות שלה ב-$a$. פולינום מקלורן הוא המקרה המיוחד $a=0$. שמור על הפאקטוריאלים, חשב נגזרות ב-$a$, וחושש לדיוק הטוב ביותר סביב המרכז.