גבול טעות לסדרה מתחלפת
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| alternating series error bound/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz ˈerə baʊnd/ | גבול שגיאה לסדרה מעורבת סימנים |
כמה קרוב הוא סכום חלקי?
- אם עצור סדרה מתחלפת לאחר מספר איברים, כמה הרחוק הערכה שלך?
- עבור סדרה מתחלפת מתכנסת, קיים גבול פשוט ויפה.
- גבול השגיאה בסדרה מתחלפת: השגיאה אינה עולה על האיבר הראשון שנותר.
- איבר אחד מספק לך את הדיוק – ללא חישובים מורכבים.
הגבול
- קירב את הסכום $S$ באמצעות סכום חלקי מס' $n$, כלומר $S_n$. השארית (השגיאה) היא $|S-S_n|$.
- עבור סדרה מתחלפת מתכנסת (איברים יורדים $b_n\to0$):
-
$$|S-S_n|\le b_{n+1}$$
- השגיאה קטנה או שווה לערך המוחלט של האיבר הבא – זה שהשארת ללא הוספה.
האיבר הבא מגביל את הטעות
סכומים חלקיים של סדרה מתחלפת "כלואים" את הסכום האמיתי, ולכן הטעות היא פחות או שווה לגודלו של האיבר הבא (המושמט).
עבור סדרה מתחלפת מתכנסת, הטעות $|S-S_n|$ היא פחות או שווה ל...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$|S-S_n|\le b_{n+1}$.
הטעות מוגבלת על ידי האיבר הראשון ____ , ולא האחרון שנכלל.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
השתמשו ב-$b_{n+1}$, האיבר שלא הוספת.
מדוע האיבר הבא מהווה גבול
- מכיוון שאיברי הסדרה מתחלפים וקטנים, הסכום האמיתי תמיד נכלא בין שני סכומים חלקיים רצופים.
- לכן, אם עצרנו ב-$S_n$, האיסוף יעלה או יורד בשיעור הקטן מגודל האיבר הבא.
- הסכומים החלקיים צמודים זה לזה כמו אקורדיאון מתכווץ סביב $S$.
- מכאן שהאיבר הבא מובטח כגביל עליון לשגיאה.
בקירוב $1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ עם $3$ איברים, גבול הטעות הוא האיבר הבא $b_4$. מהו?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$b_4=\tfrac14=0.25$.
הסכום האמיתי תמיד נכלא בין סכומים חלקיים רצופים של סדרה מוטרדת.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זוהי הסיבה לכך שאיבר הבא מהווה גבול לשגיאה.
שימוש בגבול כדי להבטיח דיוק
- רוצים שגיאה קטנה מ-$0.01$? מצאו את האיבר הראשון עם ערך ⟨$b_{n+1}\le 0.01$⟩ ועצרו שם.
- הגבול מאפשר לכם לקבוע כמה איברים נדרשים כדי להגיע לדיוק הרצוי.
- הוא חל רק על סדרות מתחלפות העומדות בתנאי מבחן הסדרות המתחלפות.
- פשוט, מדויק וידידותי לבחינות.
גבול טעות זה חל על כל סדרה מתכנסת, מתחלפת או לא.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
רק סדרות מתחלפות העונות לתנאי המבחן.
כדי להבטיח שגיאה מתחת ל$0.01$, יש לשמור על איברים עד שהאיבר הבא ⟨$b_{n+1}$⟩ הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
עצור כאשר ⟨$b_{n+1}\le0.01$⟩.
גבול זה עובד רק עבור סדרות מתחלפות העומדות במבחן הסדרות המתחלפות (איברים יורדים $b_n\to0$) – הוא אינו חל על סדרות בעלות איברים חיוביים. השגיאה מוגבלת על ידי האיבר הראשון שנותר $b_{n+1}$, ולא על ידי האחרון שנוסף. השתמשו ב-$b_{n+1}$,即 גודל האיבר שלא הוספת.
העריכו את $\sum_{n=1}^\infty\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ באמצעות $3$ האיברים הראשונים; הגבילו את השגיאה.
- $S_3=1-\tfrac12+\tfrac13=\tfrac{5}{6}\approx0.833$.
- האיבר הראשון שנותר: $b_4=\tfrac14$. לכן השגיאה קטנה מ-$|S-S_3|\le\tfrac14=0.25$.
- הסכום האמיתי $\ln 2\approx0.693$ נמצא אכן בטווח של $0.25$ מהערך $0.833$. ✓
גבול השגיאה לסדרה חלופית: עבור סדרה חלופית מתכנסת, שגיאת הסכום החלקי ה$n$-י אינו עולה על האיבר הראשון שנעזר, $|S-S_n|\le b_{n+1}$. זה חל רק על סדרות חלופיות העומדות בתנאי הבדיקה, ומאפשר לבחור כמה איברים מבטיחים דיוק מטרות.