מבחן המנה להתכנסות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| Ratio Test/ˈreɪʃɪəʊ test/ | מבחן המנה |
השוואת איבר לקודמו
- כאשר האיברים מכילים פקטוריאלים או חזקות $n$, ההשוואות מורכבות. השתמשו במקום זאת במבחן היחס.
- הוא בודק כיצד כל איבר משווה לקודמו — היחס $\big|\tfrac{a_{n+1}}{a_n}\big|$ — בגבול.
- יחס הנשאר מתחת ל$1$ מעיד על צמצום גיאומטרי מהיר של האיברים, מה שמחייב התכנסות.
- זהו הבחירה הראשונה למבחנים עם פקטוריאלים וחזקות.
המבחן
- חשבו את $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$.
- $L<1$: הסדרה מתכנסת (בערך מוחלט).
- $L>1$ (או $L=\infty$): הסדרה מתפשטת.
- $L=1$: המבחן בלתי קובע — השתמשו במבחן אחר.
מנה נמוכה מ-1 מחייבת התכנסות
אם המנה של איברים עוקבים נשענת מתחת ל-$1$, האיברים קופאים בקצב גיאומטרי מהיר — הסדרה מתכנסת.
במבחן המנה, אם $L=\lim|a_{n+1}/a_n|<1$, הסדרה...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$L<1$ → מתכנסת.
מבחן היחס משתמש בערך המוחלט של היחס בין איברים רצופים.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$L=\lim|a_{n+1}/a_n|$.
פקטוריאלים וחזקות אוהבים את מבחן היחס
- פקטוריאלים מתקצרים בצורה יפה: $\dfrac{(n+1)!}{n!}=n+1$ — היחס מצטמצם באופן משמעותי.
- אותו דבר עבור חזקות $n$ של קבוע: $\dfrac{r^{n+1}}{r^n}=r$.
- לכן סדרות כמו $\sum\tfrac{2^n}{n!}$ או $\sum\tfrac{n!}{n^n}$ הן בעיות טיפוסיות למבחן היחסים.
- כתוב $\tfrac{a_{n+1}}{a_n}$, נקל על הביטוי, וקח את הגבול.
אם מבחן המנה נותן $L=1$, אז...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$L=1$ לא מספק מידע.
עבור $a_n=\tfrac{2^n}{n!}$, $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!}=\frac{2}{n+1}$.
מבחן המנה עובד במיוחד היטב עבור סדרות עם...
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
סדרות p נותנות $L=1$ (חסר ערך); פקטוריאלים/אקספוננציאלים מצטמצמים יפה.
האזור המת (dead zone) של $L=1$
- כאשר $L=1$, מבחן היחס אינו נותן כלל מידע — הסדרה עשויה להתכנס או להתפרק.
- זה קורה בסדרות p (למשל, $\sum\tfrac1{n^2}$ מניב $L=1$), שם יש להשתמש במקום זאת בחוק סדרות p.
- לכן מבחן היחסים זוהר עם פאקטורials/אקספוננציאלים אך חסר תועלת בהשקעת כוחות פשוטים של $n$.
- זיהה $L=1$ ועבור לכלים אחרים.
מכיוון ש-$\lim\tfrac{2}{n+1}=0<1$, הסדרה $\sum\tfrac{2^n}{n!}$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$L=0<1$ → מתכנסת.
קח את ערך המוחלט של היחס, וזכור את שלושת המקרים: $L<1$ מתכנס, $L>1$ מתפצל, $L=1$ לא מכריע (אל תנחש — השתמש במבחן אחר). מבחן היחסים חזק לפאקטורials/אקספוננציאלים אך נותן $L=1$ (חסר תועלת) על סדרות p כמו $\sum\tfrac1{n^p}$.
האם $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^n}{n!}$ מתכנסת?
- $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!}=\dfrac{2}{n+1}$.
- $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{2}{n+1}=0<1$.
- מכיוון ש-$L<1$, הסדרה מתכנסת.
מבחן היחסים: $L=\lim\big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\big|$. $L<1$ → מתכנס, $L>1$ → מתפצל, $L=1$ → לא מכריע. אידיאלי ל-פאקטורials ואקספוננציאלים (היחסים מצטמצמים); חסר תועלת (נותן $L=1$) על סדרות p.