מבחן הסדרה המתחלפת להתכנסות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| alternating series/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz/ | סדרה מעורבת סימנים |
סדרות שסימניהן מתחלפות
- ישנן סדרות המשתנות סימן: ⟨$+,-,+,-,\dots$⟩, כמו ⟨$1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots$⟩.
- אלו הן סדרות מתחלפות, ול它们 יש מבחן סכימה משלהן.
- החילוף בסימונים מאפשר ביטול חלקי של האיברים, כך שסדרות מתחלפות נסכמות בקלות.
- מבחן אחד עם שני תנאים פשוטים מטפל בהן.
מבחן הסדרה המתחלפת
- סדרה מתחלפת ⟨$\sum(-1)^n b_n$⟩ (עם ⟨$b_n>0$⟩) סוכמת אם שתי התנאים מתקיימים:
- 1. האיברים יורדים: ⟨$b_{n+1}\le b_n$⟩, ו
- 2. האיברים צומחים לאפס: ⟨$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=0$⟩.
- אם שני התנאים מתקיימים, הסדרה המתחלפת סוכמת. פשוט כזה דבר.
איברים מתחלפים צומחים
אם החלק החיובי יורד ל-$0$, הסימן מתחלף ומאפשר לסכומים החלקיים להתקרב — הסדרה מתכנסת.
מבחן הסדרה המתחלף דורש שהאיברים החיוביים $b_n$ יהיו איזה?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ירידה וגבול $0$.
מדוע החילוף עוזר
- כל איבר חדש קטן מהאחרון ונגדי לו בסימן, כך שהוא מבטל חלקית את הקודם.
- הסכומים החלקיים קופצים, אך במרחקים צומחים — מתקרבים לגבול.
- לכן $1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ מתכנסת, למרות ש$1+\tfrac12+\tfrac13+\cdots$ (ההרמונית) מתפרקת.
- החילוף הוא מה שמרגיע את האיברים ההרמוניים.
הסדרה ההרמונית המתחלפת $\sum\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$b_n=\tfrac1n$ יורד ל-$0$ → מתכנס.
הסימן ____ מאפשר לסכומים החלקיים להתקרב לגבול.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
החלפה גורמת לבטול חלקי.
$\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ מתכנס גם אם $\sum\tfrac1n$ מתפזר.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ההחלפה משתקת את האיברים ההרמוניים.
יישום נקי שלו
- הסר את $(-1)^n$ ובדוק את החלק החיובי $b_n$ עבור שתי התנאים.
- האם $b_n$ יורדת? האם $b_n\to0$? אם כן לשניהם, הסדרה מתכנסת.
- אם $b_n$ לא שואפת ל$0$, הסדרה מתפשטת (על פי מבחן האיבר הנ"א במקום זאת).
- המבחן מהיר ברגע שמבודדים את $b_n$.
בודקים את שתי התנאים בחלק החיובי $b_n$ לאחר הסרת $(-1)^n$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
בודד תחילה את $b_n$.
אם $b_n\not\to0$ לסדרה מתחלפת, היא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
איברים שאינם $\to0$ → מתפרצים ללא קשר להתחלפות.
יישמו את שני התנאים על האיברים החיוביים $b_n$ (לאחר הסרת ה$(-1)^n$). נדרשים שניהם: ירידה וגם גבול $0$. אם $b_n\not\to0$, הסדרה מתפשטת (מבחן האיבר הנ"א). ומבחן זה מוכיח התכנסות של הסדרה המסועפת; הוא אינו אומר כלום לגבי $\sum b_n$ או $\sum|a_n|$ (ראו ערך מוחלט לעומת תנאי, שיעור 10.9).
האם סדרה הלמונית מסועפת $1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots$ מתכנסת?
- החלק החיובי $b_n=\tfrac1n$. יורדת? כן, $\tfrac1{n+1}<\tfrac1n$. גבול $0$? כן, $\tfrac1n\to0$.
- שני התנאים מתקיימים, ולכן הסדרה מתכנסת לפי מבחן הסדרה המסועפת.
- (גם אם הסדרה ההלמונית הרגילה מתפשטת.)
מבחן הסדרה המסועפת: $\sum(-1)^n b_n$ (עם $b_n>0$) מתכנסת אם האיברים $b_n$ הם יורדים ו$b_n\to0$. בדקו שניים בשניים בחלק החיובי $b_n$. הסיווג מאפשר לסדרות כמו $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ להתכנס במקרה שהגרסה הלא-מסועפת שלהן מתפשטת.