הסדרה ההרמונית והסדרה p
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| harmonic series/hɑːˈmɒnɪk ˈsɪəriːz/ | סדרה הרמונית |
| p-series/piː ˈsɪəriːz/ | סדרת p |
משפחה שלמה של מקרי בדיקה
- שתי סדרות הקשורות זו לזו מופיעות לעיתים קרובות כך שהן קיבלו שמות — וחוק התכנסות פשוט.
- הסדרה ההרמונית היא $\sum\tfrac1n=1+\tfrac12+\tfrac13+\cdots$.
- סדרת ה-p p- ממ généralize אותה: $\sum\tfrac1{n^p}$ עבור חזקה קבועה $p$.
- סף נקי אחד ב-$p$ מחליט על התכנסות לכל המשפחה.
חוק סדרת ה-p
- $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}}$ מתכנסת אם $p>1$ ו-מתבדרת אם $p\le 1$.
- ערך גדול יותר של $p$ גורם לאיברים להתכווץ מהר יותר — מספיק מהר כדי שהסדרה תתכנס ברגע ש-$p$ חוצה את $1$.
- הדבר נובע ישירות מבחון האינטגרל על $\int_1^\infty x^{-p}\,dx$.
- לזכור את סף הקריטריון: הגבול המדויק הוא בדיוק $p=1$.
כמה מהר האיברים מצטמצמים?
סדרה p מתכנסת רק אם האיברים שלה $\tfrac1{n^p}$ מצטמצמים מספיק מהר — הסף הוא בדיוק $p>1$.
הסדרה p $\sum\tfrac1{n^p}$ מתכנסת בדיוק כאשר...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מתכנסת אם ורק אם $p>1$.
גבול ההתכנסות לסדרת p הוא בדיוק $p=$ ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מתכנסת עבור $p>1$, מתפצלת עבור $p\le1$.
הסדרה ההרמונית היא הגבול
- הסדרה ההרמונית היא המקרה ה-$p=1$ — ו-$p=1$ מתפשט.
- האיברים שלה ↘️ $\tfrac1n\to0$, אך הסכום גדל ללא גבול (באיטיות, אך לעולם).
- זוהי דוגמה קלאסית ל"איברים מתכווצים אך הסדרה עדיין מתפשטת".
- $p=1$ יושב בדיוק בצד הלא נכון של הגבול.
הסדרה ההרמונית $\sum\tfrac1n$ ($p=1$)...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$p=1$ מתבדר, למרות שהאיברים $\to0$.
הסדרה ההרמונית מראה שאיבר הולך ל-$0$ אינו מבטיח התכנסות.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
איבריה $\to0$ אולם היא מתפצלת.
בדיקות התכנסות מיידיות
- זיהוי סדרת p חוסך את כל העבודה — פשוט השוו בין $p$ ל-$1$.
- $\sum\tfrac1{n^2}$: $p=2>1$ → מתכנס. $\sum\tfrac1{\sqrt n}=\sum\tfrac1{n^{1/2}}$: $p=\tfrac12\le1$ → מתפשט.
- אלו גם הסדרות הסטנדרטיות להשוואה במבחני ההשוואה (בשיעור הבא).
- ידע מוחלט בסדרות p מאיץ משמעותית חלק ניכר מפתרונות סדרות.
סמן את כל הסדרות המתכנסות.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$p=2,3>1$ מתכנסת; $p=\tfrac12,1$ מתפצלת.
$\sum\tfrac1{\sqrt n}$ היא סדרת p עם $p=\tfrac12$. היא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$p=\tfrac12\le1$ → מתבדר.
הגבול הוא מחמיר: $\sum\tfrac1{n^p}$ מתכנס רק עבור $p>1$. המקרה הגבולי $p=1$ (ההרמוני) מתפשט — זהו כמעט תמיד פח, מכיוון שאיבריו כן שואפים ל-$0$. וגם $\sum\tfrac1{\sqrt n}$ הוא $p=\tfrac12$, שהוא מתפשט (ולא מתכנס) — כוח שברתי מתחת ל-$1$.
מיישרו כל סדרה.
- $\sum\tfrac1{n^3}$: $p=3>1$ → מתכנס.
- $\sum\tfrac1{n}$: $p=1$ → מתפשט (הרמוני).
- $\sum\tfrac1{n^{0.9}}$: $p=0.9\le1$ → מתפשט.
סדרת p (p-series) $\sum\tfrac1{n^p}$ מתכנסת אם ורק אם $p>1$; היא מתפרקת עבור $p\le1$. הסדרה ההרמונית היא המקרה $p=1$, שהוא מתפרק למרות שאיבריו שואפים ל$0$. זיהוי סדרת p מספק פסק דין מידי לגבי התכנסותה.