מבחן האינטגרל להתכנסות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| Integral Test/ˈɪntɪɡrəl test/ | מבחן האינטגרל |
סדרה ואינטגרל העולים או יורדים יחד
- אם איברי סדרה נובעים מפונקציה יורדת וטובה, גורלה תואם את ה-אינטגרל שלה.
- מבחן האינטגרל משווה $\sum a_n$ ל-$\int f(x)\,dx$, כאשר $a_n=f(n)$.
- דייקנו את האיברים כאזורי מלבנים — הם חסומים על ידי האזור תחת העקומה.
- לכן, התכנסות (או אי-התכנסות) האינטגרל הפרוע מחייבת את הסדרה לעשות זאת גם כן.
התנאים
- המבחן דורש שמ-$f$ יהיה חיובי, רציף ו-יורד עבור $x\ge$ נקודה כלשהי.
- לאחר מכן הגדירו $a_n=f(n)$ והשוו ל-אינטגרל הפרוע.
- תנאים אלו מאפשרים למלבנים לחסום את האזור תחת $f$.
- בדקו את שלושת התנאים לפני היישום — פונקציה שאינה יורדת של $f$ תשבור את ההשוואה.
מבחן האינטגרל דורש ש$f$ יהיה מה על $[1,\infty)$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
חיובי, רציף, יורד — לא בהכרח פולינום.
מבחן האינטגרל מקשר בין סדרה לאינטגרל על ידי הגדרת $a_n=f(\ \_\_\ )$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
האיברים הם ערכי הפונקציה בשלבים שלמים.
המסקנה
- $\displaystyle\sum a_n$ ו$\displaystyle\int_1^\infty f(x)\,dx$ מתכנסות או מתפרקות יחד – לגורל זהה.
- חשב את האינטגרל המיושן: אם הוא סופי, הסדרה מתכנסת; אם אינסופי, היא מתבדרת.
- (סכום הסדרה אינו שווה לערך האינטגרל — הם משתפים רק התכנסות, לא מספר.)
- אינטגרל מיושן אחד קובע לגבי כל הסדרה.
מבחן האינטגרל אומר ש$\sum a_n$ ו$\int_1^\infty f\,dx$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
להם גורל משותף, לא ערך.
ערך האינטגרל הלא רגיל שווה לסכום הסדרה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
להם התכנסות משותפת, לא הערך ($\sum\tfrac1{n^2}=\tfrac{\pi^2}{6}\neq1$).
מדוע זה עובד
- הריבועים בעלי שטח $a_n$ מתאימים בדיוק מעל או מתחת לעקומה $y=f(x)$.
- לכן הסדרה נתפסת בין $\int f$ ל-$\int f + a_1$ — אינטגרל סופי פירושו סדרה סופית.
- זהו "השוואת שטחים" מדויקת, הממירה סכום לאינטגרל שאפשר לחשב.
- זה נוח במיוחד עבור איברים כמו $\tfrac1{n^p}$ ו-$\tfrac1{n\ln n}$.
מלבנים המוגבלים על ידי העקומה
y = 1/x²
מלבני האיברים תואמים לשטח מתחת ל$f$, ולכן הסדרה והאינטגרל מתכנסים או מתבדרים יחד.
מכיוון ש-$\int_1^\infty \tfrac1{x^2}\,dx=1$ (סופי), הסדרה $\sum\tfrac1{n^2}$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אינטגרל סופי → סדרה מתכנסת.
אם $\int_1^\infty f\,dx$ מתבדר (אל $\infty$), אזי $\sum a_n$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אותו גורל: אינטגרל מתבדר → סדרה מתבדרת.
מבחן האינטגרל דורש ש-$f$ יהיה חיובי, רציף ויריד — בדוק את שלושת התנאים. לבחון משתף רק התכנסות/התבדרות, לא ערך: בדרך כלל $\sum a_n \neq \int_1^\infty f\,dx$. אל תדווח על ערך האינטגרל כסכום של הסדרה.
בדוק את $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$ באמצעות מבחן האינטגרל.
- $f(x)=\tfrac1{x^2}$ חיובי, רציף ויריד עבור $x\ge1$. ✓
- $\displaystyle\int_1^\infty \tfrac1{x^2}\,dx=1$ (סופי, מהשיעור 6.13).
- האינטגרל מתכנס, ולכן הסדרה מתכנסת. (סכומה הוא $\tfrac{\pi^2}{6}$, לא $1$.)
מבחן האינטגרל: אם $f$ הוא חיובי, רציף ויריד ביחס ל-$a_n=f(n)$, אזי $\sum a_n$ ו-$\int_1^\infty f(x)\,dx$ חולקים את גורלם (שתיهما מתכנסות או שתיهما מתבדרות). חשב את האינטגרל המיושן כדי לקבל החלטה — אך ערכו אינו סכום הסדרה.