מבחן האיבר הנ"ה להתבדרות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| nth Term Test/ˌenˌtiːˈeɪtʃ tɜːm test/ | מבחן האיבר הכללי |
דרך מהירה להוכחת אי-התכנסות
- לפני ביצוע מבחן מורכב, בצעו את הבדיקה הזולה ביותר: עיינו באיברים.
- מבחן האיבר ה-n (או מבחן האי-התכנסות) משתמש בגבול האיברים $a_n$.
- אם האיברים לא מתכווצים ל-$0$, הסדרה לא יכולה להתכנס — היא אינה מתכנסת מיד.
- זהו הדבר הראשון שיש לנסות, והוא מוכיח תמיד רק אי-התכנסות.
המבחן
- חשבו את $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$.
- אם $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$ (או הגבול לא קיים), הסדרה $\sum a_n$ אינה מתכנסת.
- אינטואיציה: אם ממשיכים לחבר חלקים שלא מתכווצים ל-$0$, הסך הכל לעולם לא יתייצב.
- חישוב גבול אחד, ואולי נסיימו.
איברים שאינם מגיעים לאפס
אם איברי סדרה מתייצבים על ערך שאינו אפס, הסכום לעולם לא יתייצב — מבחן האיבר הנ"ה מוכיח התבדרות.
אם $\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$, אזי $\sum a_n$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
גבול איבר שאינו אפס → התבדרות.
הוא לעולם לא יכול להוכיח התכנסות
- אם $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0$, המבחן אינדיסקרטיבי — הוא לא אומר כלום.
- הסדרה עשויה להתכנס או לא להתכנס; עליכם להשתמש במבחן אחר.
- הסדרה ההרמונית $\sum\tfrac1n$ יש לה $a_n\to0$ אך אינה מתכנסת — הוכחה לכך שמבחן זה לא מאשר התכנסות.
- לכן גבול "$0$" הוא דרך סגורה ל-מבחן זה, ולא רמז ירוק.
אם $\lim_{n\to\infty}a_n=0$, מבחן האיבר הנ"ה הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הוא מוכיח רק התבדרות; גבול $0$ אינו מספק כל מידע.
מבחן האיבר הכללי יכול להוכיח סדרה מתכנסת.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אולם הוא יכול רק להוכיח התבדרות.
לסדרה $\sum\tfrac1n$ יש $a_n\to0$ אך היא מתבדרת. הדבר מראה שמבחן האיבר הכללי...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
גבול $0$ אינו מבטיח התכנסות.
מקומו באסטרטגיה
- תמיד הפעילו את מבחן האיבר הנ"מ תחילה — הוא מהיר ויכול לחסוך בכם מבחן מורכב.
- האם האיברים אינם $\to0$? נסיקה: הסדרה מתפזרת.
- האם האיברים $\to0$? המשיכו למבחן התכנסות אמיתי (גיאומטרי, אינטגרלי, השוואה, יחס, סופית סימנים).
- זהו מסנן, ולא תשובה מלאה.
עבור $\sum\dfrac{n}{2n+1}$, $\lim a_n=\tfrac12$. לכן הסדרה...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac12\neq0$ → מתבדר.
כמסנן מהיר, רצו את מבחן האיבר הכללי ____ מבין מבחני ההתכנסות.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זהו בדיקת ההתבדרות הזולה ביותר.
מבחן האיבר הנ"מ יכול רק להוכיח התפשטות. אם $\lim a_n=0$, המבחן אינו מכריע — אל תסיקו להתכנסות. השימוש השגוי הנפוץ ביותר הוא "$a_n\to0$, ולכן היא מתכנסת" — שגוי; $\sum\frac1n$ הוא הדוגמה המאששת.
האם $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{2n+1}$ מתכנסת?
- האיברים: $a_n=\dfrac{n}{2n+1}$. הגבול: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{2n+1}=\dfrac12$.
- מכיוון שהגבול הוא $\tfrac12\neq0$, הסדרה מתפזרת לפי מבחן האיבר הנ"מ.
מבחן האיבר הנ"מ: אם $\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$ (או שאינו קיים), אזי $\sum a_n$ מתפזר. אם $\lim a_n=0$, המבחן אינו מכריע (הוא לעולם לא מוכיח התכנסות). הפעילו אותו תחילה כמסנן מהיר להתפשטות.