עבודה עם סדרות גיאומטריות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/ | סדרה גיאומטרית |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | יחס משותף |
הסדרה היחידה שניתן לחשב בדיוק
- רוב הסדרות קשות לחיבור. הסדרה הגיאומטרית היא ההוצאה מכלל-הכלים המוכרת — יש לה נוסחה.
- כל איבר הוא הקודם שלו כפול ביחס משותף קבוע $r$: $a+ar+ar^2+ar^3+\cdots$.
- זו גרסה אינסופית לסדרות גיאומטריות שהכרתם כבר.
- וישנה כלל ברור עבור מתי היא מתכנסת ולמה.
סדרה גיאומטרית
סדרה גיאומטרית מחברת איברים שמוכפלים ב-$r$ בכל פעם — היא מתכנסת (ל-$a/(1-r)$) בדיוק כאשר $|r|<1$.
מתכנסת רק כאשר $|r|<1$
- סדרה גיאומטרית מתכנסת רק כאשר $|r|<1$ (היחס הוא שבר).
- אם $|r|\ge1$, האיברים אינם צומצמים ל-$0$, ולכן היא מתפזרת.
- $\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ ($r=\tfrac12$) מתכנס; $1+2+4+\cdots$ ($r=2$) מתפזר.
- המספר הבודד $|r|$ קובע את הכל.
סדרה גיאומטרית $\sum a r^n$ מתכנסת בדיוק כאשר...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מתכנסת אם ורק אם היחס הוא שבר, $|r|<1$.
אילו סדרה גיאומטרית אינה מתכנסת?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$r=2$ בעל $|r|\ge1$ → אינה מתכנסת.
נוסחת הסכום
- כאשר היא מתכנסת ($|r|<1$), הסכום הוא
-
$$\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n}=\frac{a}{1-r}$$
- $a$ הוא האיבר הראשון ו-$r$ היחס המשותף.
- הצב ערכים ותקבל את הסכום האינסופי המדויק — אין צורך לחשב גבולות ביד.
סכום סדרה גיאומטרית מתכנסת הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\sum a r^n=\frac{a}{1-r}$ עבור $|r|<1$.
ניתן להשתמש בנוסחה $\tfrac{a}{1-r}$ גם כאשר $|r|\ge1$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
רק כאשר $|r|<1$ (מתכנסת).
הזדהויות נכונות של $a$ ו-$r$
- $a$ הוא האיבר הראשון האמיתי של הסדרה (למעשה מה שהיא מתחילה בו), ולא בהכרח $1$.
- $r$ הוא היחס בין איברים עוקבים — חלק כל איבר בקודמו.
- אם הסדרה מתחילה ב-$n=1$ במקום ב-$n=0$, התאימו את $a$ להיות האיבר הראשון הזה.
- עם ה-$a$ וה-$r$ הנכונים, הנוסחה $\tfrac{a}{1-r}$ תעשה את שאר העבודה.
מצאו $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty 5\left(\tfrac13\right)^n$ (מספר עשרוני).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{5}{1-1/3}=\frac{5}{2/3}=7.5$.
בנוסחה $\tfrac{a}{1-r}$, $a$ הוא האיבר ה____ בסדרה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$a$ הוא האיבר הראשון בפועל.
הנוסחה $\frac{a}{1-r}$ חלה רק כאשר $|r|<1$ — שימוש בה על סדרה גיאומטרית בלתי מתכנסת נותן מספר ללא משמעות. והערכה $a$ היא האיבר הראשון כפי שנכתב, לא תמיד $1$: עבור $\sum_{n=1}^\infty 3\cdot 2^{-n}=\tfrac32+\tfrac34+\cdots$, האיבר הראשון הוא $\tfrac32$, לא $3$.
מצאו את הסכום של $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} 5\left(\tfrac13\right)^{n}$.
- האיבר הראשון $a=5$, היחס המשותף $r=\tfrac13$. מכיוון ש$|r|<1$, הסדרה מתכנסת.
- $\displaystyle\sum=\frac{a}{1-r}=\frac{5}{1-\tfrac13}=\frac{5}{\tfrac23}=\frac{15}{2}$.
סדרה גיאומטרית $\sum a\,r^n$ מתכנסת אם ורק אם $|r|<1$, ובכך הסכומה היא $\frac{a}{1-r}$ (כאשר $a$ הוא ה-איבר הראשון, ו-$r$ ה-יחס המשותף). אם $|r|\ge1$ היא אינה מתכנסת. זוהי הסדרה היחידה עם סכום מדויק ופשוט.