הגדרת סדרות אינסופיות מתכנסות ומתפצלות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| infinite series/ˈɪnfɪnət ˈsɪəriːz/ | סדרה אינסופית |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | מתכנס |
| diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/ | מתפזר |
| partial sum/ˈpɑːʃl sʌm/ | סכום חלקי |
חיבור של מספר אינסופי
- האם ניתן לחבר אינסוף איברים ולקבל סך סופי? לעיתים כן.
- סדרה אינסופית היא הסכום $a_1+a_2+a_3+\cdots$ של איברי סדרה.
- היא מתכנסת אם הסך המצעגת שואף למספר סופי, והיא מתפוצצת אחרת.
- יחידה זו כולה עוסקת בבחירה באיזו – וכשהיא מתכנסת, לאילו ערך.
סכומים חלקיים הם המפתח
- הוסיפו את האיברים אחד אחר אחד: ה-סכום החלקי $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ הוא הסך של $n$ האיברים הראשונים.
- סכומים חלקיים אלו יוצרים תור משלהם $S_1,S_2,S_3,\dots$.
- ערך הסדרה מוגדר כ-גבול הסכומים החלקיים: $\displaystyle\sum a_n=\lim_{n\to\infty}S_n$.
- לכן, סכום אינסופי הוא למעשה גבול — אותה רעיון גבול מהיחידה 1.
איברים בסדרה מתכנסת
האיברים ב-$1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots$ מצטמצמים בגיאומטריה, ולכן הסכמים חלקיים מתקבצים לגבול סופי.
ערך של סדרה אינסופית מוגדר כגבול ה-...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\sum a_n=\lim_{n\to\infty}S_n$.
הסכום של $n$ האיברים הראשונים, $S_n$, נקרא הסכום ה-$n$ ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הסדרה היא הגבול של הסכמים חלקיים אלו.
התכנסות מול התפצלות
- מתכנסת: הסכומים החלקיים $S_n$ שואפים לגבול סופי $L$ — זהו $L$ הסכום של הסדרה.
- מתפצלת: הסכומים החלקיים גדלים ללא גבול, או קופצים ולא מתייצבים לעולם.
- $1+\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ מתכנס (ל$2$); $1+1+1+\cdots$ מתפצלת.
- התכנסות נוגעת בכך שהסכומים החלקיים מתייצבים, לא באיברים עצמם.
הסכמים החלקיים של $1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots$ שואפים אל גבול מה?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
סדרה גיאומטרית עם יחס $\tfrac12$ מסכמת ל-$2$.
אילו סדרה מתפרקת באופן ברור?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
האיברים לא צומצמים ל-$0$, ולכן היא מתפרקת.
סדרה מתכנסת כאשר הסכמים החלקיים שלה...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
התכנסות = הסכמים חלקיים שואפים לגבול סופי $L$.
צמצום האיברים הוא תנאי נדרש, אך לא מספיק
- כדי לסדרה להתכנס, איבריה חייבים לצמוץ ל$0$ — אחרת הסך לא יכול להתייצב.
- אך איברים מצטמצמים לבדם אינם מבטיחים התכנסות (הסדרה ההרמונית $\sum\tfrac1n$ יש איברים $\to0$ אך מתפצלת).
- לכן "$a_n\to0$" הוא תנאי נדרש, אך לא מספיק.
- הבדיקות ביחידה זו הן הכלים למקרים הקשים יותר.
אם האיברים $a_n\to 0$, הסדרה חייבת להתכנס.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
נדרש אך לא מספיק — למשל, $\sum\tfrac1n$ מתפרקת.
סדרה היא גבול של סכומים חלקיים, לא רק "האיברים". איברים השואפים ל$0$ הם נדרשים להתכנסות אך לא מספיקים — $\sum\frac1n$ יש איברים $\to0$ אך מתפצלת. אל תסיקו התכנסות רק כי האיברים מצטמצמים; אתם זקוקים לאחת מבדיקות ההתכנסות.
האם $1+\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ מתכנסת?
- סכומים חלקיים: $S_1=1$, $S_2=1.5$, $S_3=1.75$, $S_4=1.875,\dots$
- הם עולים לכיוון $2$ ואף פעם לא חוצים אותו.
- הגבול הוא $2$, ולכן הסדרה מתכנסת ל$2$.
סדרה אינסופית $\sum a_n$ היא הגבול של סכומיה החלקיים $S_n=a_1+\cdots+a_n$: היא מתכנסת ל-$L$ אם $S_n\to L$ (מספר סופי), ואחרת היא מתפזרת. ירידת האיברים ל-$0$ היא נחוצה אך לא מספיקה להתכנסות.