חישוב השטח הנעלם בין שתי קורבות קוטביות
הוצגהאזור בין שתי עקומות קוטביות
- כמו במקרה של עקומות $x,y$, ניתן למצוא את השטח בין שתי עקומות קוטביות.
- חשב את השטח בתוך העקומה החיצונית והחסר ממנו את השטח בתוך העקומה הפנימית.
- כל אחד מהם הוא אינטגרל $\tfrac12\int r^2\,d\theta$; התשובה היא ההפרש ביניהם.
- הטיפ הוא למצוא היכן העקומות נחתכות כדי לקבוע את גבולות הזווית.
מצא את זוויות החיתוך קודם כל
- השווה את שתי העקומות, $f(\theta)=g(\theta)$, והפתור עבור זוויות החיתוך.
- זוויות אלו הן גבולות האינטגרציה $\alpha,\beta$ עבור האזור הכלוא.
- (ציוני חיתוך קוטביים עשויים להיות מרמיים — נקודה עשויה להישג ב$\theta$ שונים; יש לשרטט כדי לוודא.)
- האזור הרלוונטי נמצא בין זוויות אלו.
השטח בין שתי קורבות קוטביות הוא $\tfrac12\int_\alpha^\beta(\ ?\ )\,d\theta$ כאשר פונקציית האינטגרציה היא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ריבוע החיצון פחות ריבוע הפנים.
כדי לקבוע את גבנות הזווית, מצאים את הזוויות ____ על ידי פתרון $f(\theta)=g(\theta)$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הנקודות בהן הקורבות נפגשות מגדירות את האזור.
ריבוע החיצון פחות ריבוע הפנים
- בתחום, זיהו איזה עקומה היא חוץ ($r$ גדול יותר) ואיזה היא פנים.
- השטח ביניהן הוא:
-
$$A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\Big(\big[r_{\text{outer}}\big]^2-\big[r_{\text{inner}}\big]^2\Big)\,d\theta$$
- הריבו את כל רדיוס, חסרו, חלקו בשתי והשתלבו — גלילית הקוטבית.
בין שתי קורבות קוטביות
השטח בין שתי קורבות קוטביות מחשב את ההפרש בין המסילות החיצוניות לאלו הפנימיות — $\tfrac12\int(r_\text{out}^2-r_\text{in}^2)\,d\theta$.
בתוך התחום, הקורבה החיצונית היא זו עם ה-...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
החיצון = הרחוק מראשית הצירים = ריבוע $r$ גדול יותר.
מעלים בריבוע קודם, ואז מחסרים
- בדיוק כמו גליליות קרטזיות, זהו $r_{\text{out}}^2-r_{\text{in}}^2$, לא $(r_{\text{out}}-r_{\text{in}})^2$.
- הריבו כל רדיוס לפני החיסור.
- בדקו איזה עקומה היא חיצונית בתחום — ייתכן שהיא תתחלף ותדרוש חלוקה.
- ה$\tfrac12$ והריבועים הם שניהם קריטיים.
שטח בתוך $r=2$, מחוץ ל-$r=1$: $\tfrac12\int_0^{2\pi}(4-1)\,d\theta$ (כפולה של $\pi$).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac12\cdot3\cdot2\pi=3\pi$.
יש לרבע כל רדיוס לפני החיסור, ולא להשתמש ב-$(r_\text{out}-r_\text{in})^2$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זוהי $r_\text{out}^2-r_\text{in}^2$.
אם הקורבות החיצונית והפנימית מתחלפות בתוך התחום, יש לחלק את האינטגרל בנקודת החפיפה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
חלוקה כזו שומרת על חיסור חיצון-פנים נכון בכל חלק.
האינטגרנד הוא $r_{\text{outer}}^2-r_{\text{inner}}^2$ — הריבו לפני החיסור, לעולם לא $(r_{\text{out}}-r_{\text{in}})^2$. קבלו את זוויות החיתוך נכונה (שרטטו את העקומות), ואמתו איזה עקומה היא חיצונית על פני התחום; אם הן מתחלפות מקום, חלקו את האינטגרל בנקודת החצייה.
מצאו את השטח בתוך $r=2$ אך מחוץ ל$r=1$ (טבעת).
- חיצוני $r=2$, פנימי $r=1$, לכל הזוויות מ$0$ ועד ⟨$2\pi$.
- $A=\dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}\big(2^2-1^2\big)\,d\theta=\dfrac12\int_0^{2\pi}3\,d\theta=\dfrac12\cdot3\cdot2\pi=3\pi$.
- (מתאים לשטח הטבעת $\pi(2^2-1^2)=3\pi$.) ✓
השטח בין שתי עקומות קוטביות הוא $A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(r_{\text{outer}}^2-r_{\text{inner}}^2\big)\,d\theta$. תחילה מצאו את זוויות החיתוך לגבולות, זיהו חיצוני מול פנימי, והריבו את כל רדיוס לפני החיסור — לעולם לא $(r_{\text{out}}-r_{\text{in}})^2$.