מצאו את השטח של אזור קוטבי או את השטח המוגבל על ידי עקום קוטבי יחיד
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| area/ˈeərɪə/ | שטח |
| sectors/ˈsektəz/ | מסילות |
שטח שמסובבת עקומה קוטבית
- עבור $y=f(x)$ חילקנו את השטח למלבנים אנכיים. עקומה קוטבית מסתובבת סביב המקור במקום זאת.
- לכן אנו מחלקים את האזור למעגלינות דקות בצורת פיסת עוגה, כל אחת כפרוסת עיגול.
- חיבור שטחי המעגלינות הללו נותן את ה-שטח הסגור על ידי העקומה הקוטבית.
- התוצאה היא אינטגרל נקי ב-$\theta$.
נוסחת השטח הקוטבית
- מעגלית דקה בזווית $\theta$ בעלת רדיוס $r=f(\theta)$ וזווית זניחה $d\theta$; שטחה הוא $\tfrac12 r^2\,d\theta$.
- הוסיפו אותם מ-$\theta=\alpha$ עד ל-$\theta=\beta$:
-
$$A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(f(\theta)\big)^2\,d\theta$$
- רבבו את הרדיוס, חלקו בחצי ואינטגרלו על פני מרווח הזווית.
השטח הכלוא בתוך $r=f(\theta)$ הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
חצי מהאינטגרל של $r^2$.
מדוע ה-$\tfrac12 r^2$
- שטח מעגלית מלאה ברדיוס $r$ ובזווית $\Delta\theta$ הוא $\tfrac12 r^2\,\Delta\theta$.
- פרוסות הדקות שלנו הן בדיוק המסלולים הללו עם $\Delta\theta\to d\theta$.
- סכוםם (אינטגרציה) מאגד את האזור שנעבר.
- זהו המקביל הקוטבי ל"סכום מלבנים דקים", תוך שימוש במסלולי עוגה במקום מלבנים.
מגזלות דקות סורקות את השטח
אזור קוטבי הוא סכום של מגזלות דקות בצורת פרוסה, כל אחת בשטח $\tfrac12 r^2\,d\theta$.
נוסחת השטח הקוטבית סוכמת את שטחי העיגולים הדקים ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לכל מגזלה יש שטח $\tfrac12 r^2\,d\theta$.
בחירת גבולות הזווית
- הגבולות $\alpha,\beta$ הם הזוויות שבהן העקומה עוברת את האזור פעם אחת.
- עבור לולאה מלאה של עקומה פשוטה, זה לרוב $0$ עד $2\pi$ — אך לעיתים קרובות עקומות רבות נסגרות בפחות מכך.
- עליה אחת של ורד $r=\cos(3\theta)$ עוברת בין אפסים עוקבים של $r$.
- בחר גבולות שמציירים את האזור פעם אחת בלבד (ללא ספירה כפולה).
מצאו את השטח הכלוא בתוך $r=2$: $\tfrac12\int_0^{2\pi}4\,d\theta$ (כפולה של $\pi$, הוסיפו את המספר).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac12\cdot4\cdot2\pi=4\pi$.
נוסחת השטח הקוטבית כוללת גורם של $\tfrac12$ ומריעה של $r$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$A=\tfrac12\int r^2\,d\theta$.
גבולות הזווית $\alpha,\beta$ צריכים להיות נבחרים כך שהעקום יעקוף את האזור...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
עיקוף יותר מפעם אחת גורם למנייה כפולה של שטח.
הנוסחה הקוטבית נותנת $4\pi$ עבור $r=2$, מה שתואם...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\pi(2)^2=4\pi$ — שני הצדדים מתאחדים.
הנוסחה היא $\tfrac12\int r^2\,d\theta$ — אל תשכח את $\tfrac12$ או את ה-ריבוע על $r$. ובחר ב-$\alpha,\beta$ כך שהעקומה תצייר את האזור פעם אחת בלבד: חריגת טווח הזווית גורמת לספירה כפולה של השטח (למשל, עליה מלאה של ורד זקוקה לזוויות בין שני ערכי $r=0$ עוקבים, ולא ל-$0$ עד $2\pi$).
מצא את השטח הכלוא בתוך $r=2$ (מעגל ברדיוס $2$).
- $A=\dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}(2)^2\,d\theta=\dfrac12\int_0^{2\pi}4\,d\theta=\dfrac12\cdot4\cdot2\pi=4\pi$.
- זה מתאים לנוסחת השטח המוכרת למעגל $\pi r^2=\pi(2)^2=4\pi$. ✓
ה-שטח הכלוא בתוך עקומה קוטבית $r=f(\theta)$ הוא $A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(f(\theta)\big)^2\,d\theta$ — סכום מסלולים דקים $\frac12 r^2\,d\theta$. שמור על $\frac12$ ועל ה-ריבוע, ובחר בגבולות הזווית כך שהאזור יוצר פעם אחת בלבד.