הגדרת מערכת קואורדינטות קוטבית וגיגור בצורה קוטבית
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| Cartesian/kɑːˈtiːzɪən/ | קרטזיות |
| Polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | קואורדינטות קוטביות |
מיקום נקודות באמצעות זווית ומרחק
- קואורדינטות דקארטיות משתמשות ב"ימין $x$, מעלה $y$". קואורדינטות קוטביות משתמשות ב-זווית וב-מרחק.
- נקודה נתונה היא $(r,\theta)$: $r$ הוא המרחק מהראשית, $\theta$ היא הזווית מהציר החיובי $x$.
- עיגולים וספירלות שהן מסורבלות בקואורדינטות $x,y$ הופכות לפשוטות בצורה הקוטבית.
- עקומות כתובות כך: $r=f(\theta)$ — רדיוס כפונקציה של זווית.
המרה בין קוטבי ⇄ דקארטי
- מקוטבי לדקארטי: $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$.
- מדקארטי לקוטבי: $r=\sqrt{x^2+y^2}$ ו$\tan\theta=\tfrac{y}{x}$.
- נוסחאות אלו נובעות ישירות מטריגונומטריה במשולש ישר-זווית עבור הנקודה.
- החלף לכיוון שמתאים יותר לפתרון הבעיה.
סינוס וקוסינוס בונים קוטבי
$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ — קואורדינטות קוטביות בנויות משני הפונקציות הטריגונומטריות הללו של הזווית.
ההמרה מקוטבי לקרטזיאני היא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$.
להמרת קואורדינטות דקארטיות לקוטביות, $r=\sqrt{x^2+\ \_\_\_\ }$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$r=\sqrt{x^2+y^2}$.
עקומה קוטבית היא בפועל פרמטרית
- טפל ב$r=f(\theta)$ כעקומה פרמטרית עם $\theta$ כפרמטר:
- $x=f(\theta)\cos\theta$ ו$y=f(\theta)\sin\theta$.
- עכשיו כל מכונת העיבוד הפרמטרית חלה — כולל השיפוע $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$.
- לכן "גזירה בקוטביות" פשוט משמעותה גזירה פרמטרית עם $x,y$ אלו.
מירגש $(2,\tfrac{\pi}{3})$: מצא את הקואורדינה $x$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$2\cos\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac12=1$.
עקום קוטבי $r=f(\theta)$ ניתן לטפל כעקום פרמטרי עם פרמטר...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$x=f(\theta)\cos\theta$, $y=f(\theta)\sin\theta$ עם פרמטר $\theta$.
מציאת השיפוע $\tfrac{dy}{dx}$
- חשבו $\tfrac{dx}{d\theta}$ ו$\tfrac{dy}{d\theta}$ באמצעות כלל מכפלה/שרשרת עבור $f(\theta)\cos\theta$ ו$f(\theta)\sin\theta$.
- אזי $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ הוא השיפוע הפרמטרי הרגיל.
- אזהרה: $\tfrac{dy}{dx}$ אינו $\tfrac{dr}{d\theta}$; השיפוע דורש את הגזירות המלאות של $x,y$.
- הפרמטר הוא $\theta$, לכן גזרו את הביטויים ב-$x,y$ לפי $\theta$.
השיפוע $\tfrac{dy}{dx}$ של עקומה קוטבית שווה ל$\tfrac{dr}{d\theta}$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
השיפוע הוא $\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$, באמצעות נגזרות $x,y$.
הקואורדינטות הקוטביות $(r,\theta)$ ו-$(r,\theta+2\pi)$ מתארות את אותו נקודה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הוספת סיבוב מלא מחזירה לאותה נקודה.
השיפוע של עקומה קוטבית הוא $\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$, ולא $\dfrac{dr}{d\theta}$. עליך להמיר ל-$x=r\cos\theta$ ול-$y=r\sin\theta$ תחילה וגזר אותם (חוק מכפלה!) לפי $\theta$. Additionally, הקואורדינטות הקוטביות של נקודה אינן יחידות — $(r,\theta)$ ו-$(r,\theta+2\pi)$ הן אותה נקודה.
המירו את הנקודה הקוטבית $\big(2,\tfrac{\pi}{3}\big)$ לקואורדינטות קרטזיות.
- $x=r\cos\theta=2\cos\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac12=1$.
- $y=r\sin\theta=2\sin\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3$.
- לכן הנקודה היא $\big(1,\sqrt3\big)$.
קואורדינטות קוטביות $(r,\theta)$ מגדירות נקודה באמצעות מרחק וזווית. המירו באמצעות $x=r\cos\theta$ ו-$y=r\sin\theta$ (וחזרה באמצעות $r=\sqrt{x^2+y^2}$). עקומה קוטבית $r=f(\theta)$ היא עקומה פרמטרית ב-$\theta$, ולכן השיפוע שלה הוא $\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ — ולא $\frac{dr}{d\theta}$.