פתרון בעיות תנועה באמצעות פונקציות פרמטריות ופונקציות ערכיהן בווקטוריות
הוצגתנועה מלאה במישור, מתחילה ועד סוף
- עכשיו שבו את הכל יחד: חלקיק הנע במישור, המתואר על ידי $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$.
- גזרו כדי לקבל מהירות ותאוצה; אינטגרצו כדי ללכת לכיוון ההפוך.
- חשבו מהירות ומרחק שנסע מהרכיבים של המהירות.
- שיעור זה הוא כלי העבודה לכל בעיית תנועה במישור ברמת BC.
מיקום, מהירות, תאוצה
- מיקום: $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$.
- מהירות: $\mathbf{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ — כיוון התנועה, משיק למסלול.
- תאוצה: $\mathbf{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$.
- עלינו בסדרה על ידי גזירה, יורדים על ידי אינטגרציה עם תנאים התחלתיים.
ווקטור המהירות משיק למסלול; גודלו הוא ה____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מהירות = גודל המהירות.
מהירות ומרחק שנסע
- מהירות בזמן $t$: $|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2}$ — גודל סקלרי.
- מרחק שנסע לאורך $[a,b]$: אינטגרציה של המהירות, $\displaystyle\int_a^b |\mathbf{v}(t)|\,dt$.
- זהו אותו אינטגרל אורך קשת — אורך מסלול כולל, לעולם לא שלילי.
- מהירות עונה על "כמה מהר עכשיו"; האינטגרל עונה על "כמה סך הכל".
רוכבת מהירות לאורך זמן
y = bx
המהירות משלבת את רכבי המהירות; אינטגרציה של המהירות לאורך זמן נותנת את המרחק הכולל שחלקיק עובר.
עבור $\mathbf{v}(t)=\langle 2t,3\rangle$, מצא את המהירות בנקודה $t=2$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\sqrt{4^2+3^2}=5$.
המרחק שעבר ב$[a,b]$ הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
נצלם את המהירות (גודל המהירות).
מיקום בזמן מאוחר יותר
- כדי למצוא היכן החלקיק נמצא בזמן $b$: להתחיל ממיקום ידוע ולהוסיף את השינוי המצטבר.
- $x(b)=x(a)+\displaystyle\int_a^b x'(t)\,dt$, ובאותו אופן עבור $y$ — כל רכיב בנפרד.
- זהו "סופי = התחלתי + שינוי מצטבר", המיושם לכל ציר בנפרד.
- שלב את שני התוצאות בווקטור המיקום בזמן $b$.
איזה מאלו הם ווקטורים (ולא סקאלרים)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
מהירות ואיץ הן וקטורים; מהירות ומרחק הם סקאלרים.
המיקום ב$x$ בזמן $b$ הוא $x(a)$ פלוס...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
סופי = התחלתי + שינוי מצטבר של $x$.
המרחק שעבר שווה לגודל וקטור ההזזה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
המרחק הוא $\int|\mathbf{v}|\,dt$; גודל ההזזה יכול להיות קטן יותר.
הבדל בין וקטורים לסקלרים: מהירות (velocity) ותאוצה (acceleration) הן וקטורים (כיוון + גודל); קצב (speed) ומרחק הן סקלרים. המרחק שנסע הוא $\int|\mathbf{v}|\,dt$ (אינטגרל הקצב), ולא ההזזה $\int \mathbf{v}\,dt$ או $|\int\mathbf{v}\,dt|$. כדי למצוא מיקום מאוחר יותר, יש להוסיף את אינטגרלי הרכיבים למיקום ההתחלתי.
לחלקיק יש $\mathbf{v}(t)=\langle 2t,\ 3\rangle$. מצאו את קצבו ב-$t=2$ והגדירו את המרחק שנסע על $[0,2]$.
- מספר מהירות ב$t=2$: $|\mathbf{v}(2)|=\sqrt{(4)^2+3^2}=\sqrt{25}=5$.
- מרחק ב$[0,2]$: $\displaystyle\int_0^2\sqrt{(2t)^2+3^2}\,dt=\int_0^2\sqrt{4t^2+9}\,dt$ (הערכה מספרית).
בתנועה במישור $\mathbf{r}(t)=\langle x,y\rangle$: מהירות $\mathbf{v}=\mathbf{r}'$, תאוצה $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$ (ווקטורים); מהירות (speed) $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$ ו-מרחק שנעבר $\int_a^b|\mathbf{v}|\,dt$ (סקאלרים). מצא מיקום מאוחר יותר על ידי הוספת האינטגרלים של רכיבי $x',y'$ למיקום ההתחלתי.