אינטגרציה של פונקציות בעלות ערך וקטורי
הוצגאינטגרציה של וקטור, רכיב אחת באחת
- גזירה של וקטור הייתה רכיב-ברכיב. אינטגרציה שלו היא בדיוק אותו דבר.
- אינטגרל כל רכיב בנפרד, ואחרי מכן ארוז את התוצאות חזרה לתוך וקטור.
- $\displaystyle\int \langle f(t),\,g(t)\rangle\,dt = \Big\langle \int f\,dt,\ \int g\,dt\Big\rangle$.
- זה מאפשר לך לבצע תנועה אחורה: מהתאצה למהירות, מהמהירות למיקום.
כדי לאינטגרל $\langle f(t),g(t)\rangle$, עליך...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לאינטגרל רכיב-ברכיב, בעודף וקטור קבוע.
קדומות רכיב-ברכיב
- לכל רכיב ישנה קדומה משלו — וגם קבוע משלו.
- הקבועים מתמזגים לתוך וקטור קבוע $\mathbf{C}=\langle C_1,\,C_2\rangle$.
- לכן האינטגרל הבלתי מוגדר של פונקציית וקטור הוא בעצמו וקטור (עוד $\mathbf{C}$).
- אין צורך ללמוד דבר חדש — רק לחלץ אינטגרל משתנה יחיד פעמיים.
אינטגרציה של פונקציית וקטור מביאה לידי ביטוי וקטור קבוע $\mathbf{C}$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קבוע אחד לכל רכיב, מאוגד בתוך $\mathbf{C}$.
לכל רכיב באינטגרל יש קבוע אינטגרציה משלו.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הם מתמזגים לתוך וקטור הקבוע $\mathbf{C}$.
מהירות מתאצה
- נתון וקטור ההתאצה $\mathbf{a}(t)$, נבצע אינטגרציה כדי לשחזר את המהירות:
- $\mathbf{v}(t)=\displaystyle\int \mathbf{a}(t)\,dt$, כאשר וקטור הקבוע נקבע על ידי מהירות התחלתית $\mathbf{v}(t_0)$.
- נבצע אינטגרציה שוב לקבלת המיקום, תוך שימוש במיקום התחלתי.
- זו הגרסה הווקטורית של "מיקום ← מהירות ← התאצה" באמצעות אינטגרציה.
אינטגרציה של האצה למעבר למהירות
y = ax² + bx
אינטגרציה של כל רכיב האצה (בעודף קבוע) משחזרת את המהירות — התנאי ההתחתי קובע את הקבועים.
אינטגרציה של וקטור האצה משחזרת את ה-...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
האצה אינטגרלית למהירות.
שימוש בתנאי ההתחלה כדי למצוא $\mathbf{C}$
- כל אינטגרציה מביאה עמה וקטור קבוע שיש לקבוע.
- הצב את וקטור ההתחלה הנתון (מהירות או מיקום בזמן מסוים) והפתור עבור $\mathbf{C}$.
- עשה זאת לכל רכיב: תנאי ההתחלה מקבע גם את $C_1$ וגם את $C_2$.
- לאחר מכן כתוב את פונקציית הווקטור הנקבעת במלואה.
אם $\mathbf{a}(t)=\langle 2,6t\rangle$ ו$\mathbf{v}(0)=\langle 1,0\rangle$, אז$\mathbf{v}(t)=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אינטגרלו ואז יישמו את $\mathbf{v}(0)$: $C_1=1,C_2=0$.
כדי לקבוע את וקטור הקבוע, יש להשתמש בתנאי ____ הנתון.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
להציב את המהירות ההתחית או המיקום ההתחתי.
בצע אינטגרציה על כל רכיב בנפרד, אל תשכח וקטור קבוע $\mathbf{C}$ — קבוע אינטגרציה לכל רכיב. השתמש בתנאי ההתחלה (מהירות או מיקום בזמן נתון) כדי לפתור עבור $\mathbf{C}$ רכיב-ברכיב לפני שהגשת את התשובה.
אם נתונים $\mathbf{a}(t)=\langle 2,\ 6t\rangle$ ו$\mathbf{v}(0)=\langle 1,\ 0\rangle$, מצא את $\mathbf{v}(t)$.
- אינטגרל: $\mathbf{v}(t)=\langle 2t+C_1,\ 3t^2+C_2\rangle$.
- יישמו $\mathbf{v}(0)=\langle 1,0\rangle$: $C_1=1$, $C_2=0$.
- $\mathbf{v}(t)=\langle 2t+1,\ 3t^2\rangle$.
אינטגרציה של פונקציית וקטור רכיב אחר רכיב: $\int\langle f,g\rangle\,dt=\langle\int f\,dt,\int g\,dt\rangle$, בתוספת וקטור קבוע $\mathbf{C}$. אינטגרצו את התאוצה כדי לקבל את המהירות (ועוד פעם כדי לקבל את המיקום), תוך שימוש בתנאי התחלתי כדי לפתור עבור $\mathbf{C}$ בכל רכיב.