הגדרת ונגזרת של פונקציות בעלות ערך וקטורי
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| vector-valued function/ˈvektə ˈvæljuːd ˈfʌŋkʃn/ | פונקציה בעלת ערך וקטורי |
אריזת תנועה בחץ יחיד
- עקומה פרמטרית נותנת $x(t)$ ו-$y(t)$ בנפרד. מקבלים אותם לחבילה אחת: פונקציית ערך-וקטורי.
- $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ הוא ווקטור המיקום — חץ מראשית הצירים לנקודה הנעה.
- הוא מתאר תנועה מישורית בצורה קומפקטית, ועוקב אחר שני הקואורדינטות בו-זמנית.
- כל מה שקשור לעקומות פרמטריות מופיע כאן, בצורת וקטורית.
מסלול המתווה על ידי r(t)
y = ax² + bx
וקטור המיקום $\mathbf{r}(t)$ מצביע על הגוף הנע; הנגזרת שלו (ברכיבים) היא וקטור המהירות.
גזירה רכיב-ברכיב
- כדי לגזור פונקציה בעלת ערך וקטורי, פשוט גזרו את כל רכיב בנפרד:
-
$$\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$$
- אין כללים חדשים — הנגזרת של וקטור היא הווקטור המורכב מנגזרות.
- $\mathbf{r}'(t)$ הוא וקטור המהירות, המצביע בכיוון התנועה.
כדי לגזור את $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$, עליך...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\mathbf{r}'=\langle x',y'\rangle$.
וקטורי מהירות ותאוצה
- $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ — וקטור המהירות.
- $\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$ — וקטור התאוצה.
- כל אחד מהם נמצא על ידי גזירה חוזרת של הרכיבים.
- וקטור המהירות מגע למסלול; אורכו הוא הגודל (המהירות השערית).
עבור $\mathbf{r}(t)=\langle t^2,\sin t\rangle$, המהירות היא $\mathbf{v}(t)=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
גזור כל רכיב בנפרד.
וקטור התאוצה הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
גזרו את המיקום פעמיים: $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$.
הגודל הוא גודלו של וקטור המהירות
- גודל אינו וקטור — זהו גודלו $|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2}$.
- זו אותה אינטגרנד של אורך קשת פרמטרי.
- לכן וקטור המהירות כולל גם כיוון וגם גודל; הגודל הוא רק הגודל.
- גזרו כדי מעבר ממיקום → מהירות → תאוצה, רכיבית.
עבור $\mathbf{v}(0)=\langle 0,1\rangle$, מצא את המהירות $|\mathbf{v}(0)|$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\sqrt{0^2+1^2}=1$.
מהירות היא וקטור, זהה למהירות כיווןית.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מהירות היא הגודל הסקלרי $|\mathbf{v}|$.
המהירות שווה ל____ של וקטור המהירות.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$.
גזרו וקטור רכיבית — אל תנסו לגזור את "הווקטור כולו" כביטוי אחד מבולגן. שמרו על ההבחנה בין מהירות (וקטור) לבין גודל (גודלו, סקالر): $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$, לעולם לא רק $x'+y'$.
עבור $\mathbf{r}(t)=\langle t^2,\ \sin t\rangle$, מצאו את $\mathbf{v}(t)$ והגודל ב-$t=0$.
- $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle 2t,\ \cos t\rangle$.
- ב-$t=0$: $\mathbf{v}(0)=\langle 0,\ 1\rangle$.
- מהירות $=|\mathbf{v}(0)|=\sqrt{0^2+1^2}=1$.
פונקציה בעלת ערך וקטורי $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$ מתארת תנועה מישורית. גזרו אותה רכיבית: $\mathbf{v}=\mathbf{r}'=\langle x',y'\rangle$ (מהירות), $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$ (תאוצה). גודל הוא הגודל $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$ — סקלר, נפרד מוקטור המהירות.