מציאת ארכי עקומות נתונות באמצעות משוואות פרמטריות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| arc length/ɑːk leŋθ/ | אורך קשת |
| speed/spiːd/ | מהירות |
כמה נסע נקודה פרמטרית
- נקודה פרמטרית $\big(x(t),y(t)\big)$ נעה במישור. כמה ארוכה הדרכה שהיא חורטת?
- זו אורך הקשת של העקומה הפרמטרית, מ$t=a$ ל$t=b$.
- בכל צעד זמן קטן הנקודה נעה ב$dx=\tfrac{dx}{dt}\,dt$ לאורך וב$dy=\tfrac{dy}{dt}\,dt$ לגובה.
- סכמו את ההיפוטנוזות הקטנות האלו כדי לקבל את האורך הכולל.
הנוסחה
- אורך הצעד הקטן הוא $\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}\,dt$.
- אינטגרציה על פני מרווח הזמן:
-
$$L=\int_a^b \sqrt{\Big(\tfrac{dx}{dt}\Big)^2+\Big(\tfrac{dy}{dt}\Big)^2}\,dt$$
- שתי הנגזרות הרכיביות מועלות בריבוע, נסכמות, מושרשים ומואחזנות ב-$t$.
אורך הקשת של עקומה פרמטרית הוא $\int_a^b(\ ?\ )\,dt$ כאשר האינטגרנד הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
שתי הגזירות מרובעות, מוספות, תחת שורש.
עבור $x=t^2$, $y=t^3$: $(dx/dt)^2+(dy/dt)^2=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$(2t)^2+(3t^2)^2=4t^2+9t^4$.
הפונקציה תחת האינטגרל היא המהירות
- $\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}$ הוא בדיוק המהירות של הנקודה הנעה.
- מהירות היא מרחק ליחידת זמן; אינטגרציה של מהירות לאורך זמן נותנת את המרחק הכולל.
- לכן אורך הקשת = האינטגרל של המהירות — הגרסה הפרמטרית של "מרחק = ∫ מהירות dt".
- חיבור ישיר לבעיות תנועה (שיעור 9.6).
האורך הוא האינטגרל של המהירות
y = ax^{1.5}
האינטגרנד לאורך קשת פרמטרי הוא מהירות הנקודה — אינטגרציה של מהירות לאורך זמן נותנת את המרחק שנסע.
האינטגרנד לאורך קשת פרמטרי שווה ל____ של הנקודה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אינטגרל של מהירות = מרחק.
אורך הקשת הפרמטרית הוא אותו אינטגרל המשמש לחישוב...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אינטגרל של מהירות = המרחק שנסוע.
הצבה במעשה
- מחשבים $\tfrac{dx}{dt}$ ו-$\tfrac{dy}{dt}$, מעלים בריבוע ומוסיפים, ולוקחים את השורש.
- מאחזנים מה-$t$ ההתחלתי ועד ה-$t$ הסופי (ה-$t$, לא $x$ או $y$).
- רוב האינטגרלים האלו דורשים מחשבון; ההצבה היא המיומנות המדורגת.
- שמרים את שתי הנגזרות — הוצאת אחת מהן מאבדת את התנועה אלכסונית.
גבולות האינטגרציה לאורך קשת פרמטרי הם ערכי $t$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
בצע אינטגרציה על פני מרווח הזמן.
ניתן להשמיט את $\tfrac{dy}{dt}$ אם $\tfrac{dx}{dt}$ גדול יותר.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
שתי הנגזרות נדרשות לתנועה אלכסונית.
הגבולות הם ערכי $t$ (מרווח הזמן), ו-שתי $\tfrac{dx}{dt}$ ו-$\tfrac{dy}{dt}$ מופיעות, כל אחת מועלה בריבוע תחת השורש. אין להשתמש בגבולות $x$, ואין לשכוח אחת משתי הנגזרות. זה אותו "אינטגרל מהירות" כמו המרחק שהתנגש — לא גודל ממוצע, לכן אין צורך בערכים מוחלטים (השורש כבר $\ge0$).
מצאים את אורך $x=t^2,\ y=t^3$ עבור $0\le t\le 1$.
- $\tfrac{dx}{dt}=2t$, $\tfrac{dy}{dt}=3t^2$; סכום הריבועים $=4t^2+9t^4=t^2(4+9t^2)$.
- $L=\displaystyle\int_0^1 \sqrt{t^2(4+9t^2)}\,dt=\int_0^1 t\sqrt{4+9t^2}\,dt$.
- הצבה $u$-$u=4+9t^2$: $=\tfrac{1}{27}\big(13^{3/2}-8\big)\approx1.44$.
אורך הקשת של עקומה פרמטרית הוא $L=\int_a^b\sqrt{\big(\tfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\tfrac{dy}{dt}\big)^2}\,dt$ על פני ה-$t$. הפונקציה בתוך האינטגרל היא המהירות של הנקודה, ולכן זהו אינטגרל של מהירות = מרחק שעבר. מעלים את שתי נגזרות הרכיביות בריבוע תחת שורש אחד.