נגזרות שניות של משוואות פרמטריות
הוצגהגזרה השנייה של עקומה פרמטרית
- מצאנו את $\tfrac{dy}{dx}$ לעקומה פרמטרית. כעת: כמה העקומה מעוקמת? זה דורש $\tfrac{d^2y}{dx^2}$.
- הבעיה: אין לחלק פשוט את הגזרות השניות ב-$t$.
- במקום זאת, גזרו את הנטייה הראשונה $\tfrac{dy}{dx}$ לפי $t$, ואז חלקו שוב ב-$\tfrac{dx}{dt}$.
- זוהי כלל הנטייה הפרמטרית, המיושם בפעם השנייה על $\tfrac{dy}{dx}$.
הנוסחה הנכונה
- טיפלו בגזרה הראשונה $\tfrac{dy}{dx}$ כפונקציה חדשה של $t$, וקחו את נטיית הפרמטר שלה:
-
$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}}$$
- גזרו את $\tfrac{dy}{dx}$ לפי $t$, ואז חלקו ב-$\tfrac{dx}{dt}$ (אותו מכנה כמו לפני כן).
- סימן הקעוות מגיע מכך, בדיוק כמו בגזרה רגילה $f''$.
קעירות של עקומה פרמטרית
y = ax³ + bx
הנגזרת השנייה הפרמטרית מספקת מידע על קעירות — מחושבת על ידי גזירת $\tfrac{dy}{dx}$ ביחס ל-$t$, ולאחר מכן חלוקה ב-$\tfrac{dx}{dt}$.
הנגזרת השנייה הפרמטרית $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ שווה ל...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
גזרו את $\tfrac{dy}{dx}$ ביחס ל-$t$, ואז חלקו ב-$\tfrac{dx}{dt}$.
סדרו את השלבים למציאת הנגזרת השנייה הפרמטרית.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
שיפוע, גזרו ב-$t$, חלקו ב-$\tfrac{dx}{dt}$.
מדוע זו לא היחס האינטואיטיבי
- זה אינו $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$ — קיצור דרך זה שגוי.
- $\tfrac{dy}{dx}$ הוא כבר מנה של נגזרות $t$, ולכן הגזרתו דורשת את כלל המנה (ב$t$), ולא יחס פשוט של נגזרות שנייה.
- התהליך הנכון תמיד עובר דרך $\tfrac{d}{dt}\big(\tfrac{dy}{dx}\big)$ קודם.
- דילוג על שלב זה מוביל לתשובה השגויה הקלאסית.
הנגזרת השנייה הפרמטרית שווה ל-$\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
היחס הפשוט הזה הוא שגוי.
השגרת הדו-שלבים
- 1. מצאו את $\tfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ ופשטו.
- 2. גזרו זאת לפי $t$, ואז חלקו ב$\tfrac{dx}{dt}$.
- קעור כלפי מעלה כאשר $\tfrac{d^2y}{dx^2}>0$, קעור כלפי מטה כאשר $<0$ — בדיוק כמו תמיד.
- שמרו על אותו מכנה $\tfrac{dx}{dt}$ בשני השלבים.
עבור $x=t^2$, $y=t^3$ ($\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{3t}{2}$), $\dfrac{d^2y}{dx^2}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{d}{dt}(\tfrac{3t}{2})=\tfrac32$; חלק ב-$2t$: $\tfrac{3}{4t}$.
לאחר נגזרת של $\tfrac{dy}{dx}$ ב-$t$, מחלקים ב-$\dfrac{dx}{dt}$, ה____ המכנה כמו בנגזרת הראשונה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
שני השלבים מחלקים ב-$\tfrac{dx}{dt}$.
סימן הנגזרת השנייה הפרמטרית מעיד על...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
חיובי → קעור כלפי מעלה, שלילי → קעור כלפי מטה.
הנגזרת השנייה היא לא $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. עליכם לגזור את הנגזרת הראשונה $\tfrac{dy}{dx}$ לפי $t$ ואז לחלק שוב ב$\tfrac{dx}{dt}$. שימוש ביחס פשוט של נגזרות שנייה הוא הטעות הפרמטרית הנפוצה ביותר.
עבור $x=t^2,\ y=t^3$ (ולכן עבור $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{3t}{2}$), מצאו את $\tfrac{d^2y}{dx^2}$.
- $\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{3t}{2}\right)=\dfrac{3}{2}$.
- חלקו ב$\dfrac{dx}{dt}=2t$: $\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{3/2}{2t}=\dfrac{3}{4t}$.
- (לא $\tfrac{6t}{2}=3t$, מה שהיחס השגוי היה נותן.)
הנגזרת השנייה הפרמטרית היא $\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$ — גזרו את השיפוע הראשון $\tfrac{dy}{dx}$ ב$t$, ואז חלקו שוב ב$\tfrac{dx}{dt}$. זה אינו $\frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. הסימן שלה נותן את הכיול כרגיל.