הגדרה ונגזירה של משוואות פרמטריות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | משוואות פרמטריות |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | פרמטר |
מעקף שמצייר נקודה נעה
- במקום $y=f(x)$, תאר מעקף על ידי מתן ל$x$ ול$y$ כל אחד כפונקציה של משתנה שלישי.
- אלו הן משוואות פרמטריות: $x=f(t)$ ו$y=g(t)$, עם פרמטר $t$.
- חשב את $t$ כזמן: כאשר $t$ עובר על התחום, הנקודה $\big(x(t),y(t)\big)$ מצירתה את המעקף.
- זה מאפשר לך לצייר לולאות ומתיחות אנכיות שאין למעקף יחיד $y=f(x)$ יכול להציג.
עקומה שפרמטר משרטט
y = ax³ + bx
משוואות פרמטריות מאפשרות לנקודה לשטף עקומות — לולאות ומתיחות אנכיות שאין למשוואה $y=f(x)$ יחידה יכולה לצייר.
ב-$x=f(t)$, $y=g(t)$, המשתנה $t$ נקרא ה____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הפרמטר מניע את שני הקואורדינטות.
הפרמטר מניע לשתי הקואורדינטות
- בכל ↦t$t$, הציעו לשתי המשוואות כדי לקבל נקודה $\big(x(t),y(t)\big)$.
- המעקף הוא המסלול שעובר כאשר $t$ גדל — עם כיוון תנועה.
- דוגמה: $x=\cos t,\ y=\sin t$ מצייר את המעגל היחידה בכיוון נגד כיוון השעון.
- ביטול $t$ (כאשר אפשרי) משחזר קשר בין $x$ ל-$y$.
אילו משוואות פרמטריות משרטטות את מעגל היחידה?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\cos^2 t+\sin^2 t=1$ משרטט את מעגל היחידה.
הנטייה $\tfrac{dy}{dx}$ מהגזרות ב-$t$
- כדי למצוא את שיפוע המעקף, גזור את כל קואורדינטה ב$t$ וחלק:
-
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$$
- שני $\tfrac{dy}{dt}$ ו-$\tfrac{dx}{dt}$ נובעים משתי המשוואות; היחס ביניהן הוא השיפוע.
- (זוהי כלל השרשרת: $\tfrac{dy}{dt}=\tfrac{dy}{dx}\cdot\tfrac{dx}{dt}$, מסודר מחדש.)
עבור עקומה פרמטרית, $\dfrac{dy}{dx}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מעל על תחתון: $\frac{dy/dt}{dx/dt}$.
עבור $x=t^2$, $y=t^3$, $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t}{2}$. מצאו את השיפוע בנקודה $t=2$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{3(2)}{2}=3$.
מגע אופקי ואנכי
- משיק אופקי: $\tfrac{dy}{dt}=0$ (וגם $\tfrac{dx}{dt}\neq0$) — הנטייה היא $0$.
- מגע אנכי: $\tfrac{dx}{dt}=0$ (וגם $\tfrac{dy}{dt}\neq0$) — השיפוע אינו מוגדר.
- אלו נובעים ישירות מהגזרות המרכיביות של שתי הפונקציות.
- לכן אותו $\tfrac{dy}{dt}$ ו-$\tfrac{dx}{dt}$ נותנים גם את השיפוע וגם את המקרים המיוחדים שלו.
לעקומה פרמטרית יש משיק אופקי שם...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אופקי ⇔ שיפוע $0$ ⇔ $\tfrac{dy}{dt}=0$.
משיק אנכי מתקבל שם $\dfrac{dx}{dt}=$ ____ (וגם $\tfrac{dy}{dt}\neq0$).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אפס $\tfrac{dx}{dt}$ → שיפוע לא מוגדר → אנכי.
השיפוע הוא $\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ — יחס בין שתי הגזרות, ולא $\dfrac{d}{dt}\big[\tfrac yx\big]$ או $\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dx}{dt}$. והוא חלק עליון על תחתון: $\tfrac{dy}{dt}$ מחולק ב-$\tfrac{dx}{dt}$. החלפת התורפים הופכת את השיפוע.
עבור $x=t^2,\ y=t^3$, מצאו את $\dfrac{dy}{dx}$ ב-$t=2$.
- $\dfrac{dx}{dt}=2t$, $\dfrac{dy}{dt}=3t^2$.
- $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2}{2t}=\dfrac{3t}{2}$.
- ב-$t=2$: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3(2)}{2}=3$.
משוואות פרמטריות $x=f(t)$, $y=g(t)$ ממפות עקומה כאשר הפרמטר $t$ משתנה. הנטייה היא $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ (עליון חלוקה לתחתון). משיק אופקי יש לו $\frac{dy}{dt}=0$; משיק אנכי יש לו $\frac{dx}{dt}=0$.