אורך קשת של עקומה חלקה מישורית ומרחק שטוף
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| Arc length/ɑːk leŋθ/ | אורך קשת |
מדידת אורך של עקומה
- שטח ונפח היו אינטגרלים; גם ה-אורך של עקומה עצמו הוא אינטגרל.
- אורך קשת מחשב את סכום האורכים של חלקים ישרים זעירים לאורך העקומה.
- בכל חלק קטן, העקומה כמעט ישרה — נקודת הקצה של משולש ישר זווית קטן.
- סכמו את הנקודות הקצוות (אינטגרלו) כדי לקבל את האורך הכולל.
ממשולש קטן לנוסחה
- לחלק זעיר יש ריצה אופקית $dx$ והגבהה אנכית $dy=f'(x)\,dx$.
- אורכו הוא $\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$ (פיthagoras).
- הוסיפו אותם מ-$a$ עד ל-$b$:
-
$$L=\int_a^b \sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$$
עקומה ארוכה יותר מהמיתר שלה
y = a·x^{1.5}
אורך הקשת סוכם על ידי היפרוטלמות זעירות $\sqrt{1+(f')^2}\,dx$ — תמיד לפחות המרחק האופקי $b-a$.
אורך הקשת של $y=f(x)$ ב-$[a,b]$ הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ריבוע את הנגזרת, הוסף 1, גזור שורש.
שימוש בנוסחה
- חשבו $f'(x)$, הריעו לריבוע, הוסיפו ל-$1$, נקחו שורש ריבועי, ואינטגרלו על $[a,b]$.
- האינטגרנד הוא תמיד $\ge1$, ולכן אורך הקשת הוא לפחות המרחק האופקי $b-a$ (עקומה ארוכה יותר מהישר).
- הרבה אינטגרלי אורך קשת קשים לחישוב ידני; במבחן BC לעיתים קרובות יש להכין אותם ולהעריך מספרית.
- המיומנות המרכזית היא בניית האינטגרנד הנכון מ-$f'$.
עבור $y=\tfrac23 x^{3/2}$, $f'(x)=x^{1/2}$. האינטגרנד לאורך הקשת הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$(f')^2=x$, ולכן $\sqrt{1+x}$.
חשב את $\int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx$ (מספר עשרוני).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac23(8-1)=\tfrac{14}{3}\approx4.667$.
מכיוון שהאינטגרנד הוא $\ge 1$, אורך הקשת תמיד יהיה לפחות...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
עקומה היא באורך זה או גדול יותר מהמסלול הישר.
אורך קשת כמרחך שנסע
- אם חלקיק נע לאורך $y=f(x)$, אורך הקשת הוא ה-מרחק שהוא עובר לאורך המסלול.
- (בתנועה הנתונה על ידי $x(t),y(t)$, הגרסה הפרמטרית מופיעה בשיעור 9.3.)
- לכן אינטגרל זה אותו מדד גם את האורך הגיאומטרי של מעקף וגם את המרחק שנעבר במסלול.
- ההגדרה זהה לחלוטין; רק הפרשנות משתנה.
האינטגרנד לאורך הקשת משתמש בנגזרת $f'(x)$, ולא ב-$f(x)$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זוהי $\sqrt{1+(f'(x))^2}$.
לאורך מסלול $y=f(x)$, אורך הקשת מדד גם את ה____ שטוף.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אורך קשת = מרחק שטוף לאורך המסלול.
פונקציית האינטגרציה היא $\sqrt{1+(f'(x))^2}$ — ה-פרופורציונליות מוגברת בריבוע, ויש ⅆy$\boldsymbol{+1}$ בתוך השורש, ולא מחוצה לו. אל תכתבו $\sqrt{1+f(x)^2}$ (שימוש ב↦y$f$ במקום ↦x$f'$) ואל תשכחו את ⅆx$+1$. כל הביטוי נמצא תחת שורש אחד לפני האינטגרציה.
הגדירו את אורך הקשת של $y=\tfrac23 x^{3/2}$ מ↦a$x=0$ ל↦b$x=3$.
- $f'(x)=x^{1/2}$, ולכן $\big(f'(x)\big)^2=x$.
- $L=\displaystyle\int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx=\Big[\tfrac23(1+x)^{3/2}\Big]_0^3=\tfrac23(8-1)=\tfrac{14}{3}$.
אורך הקשת של $y=f(x)$ על $[a,b]$ הוא $L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$ — סיכום היפוטנוזות זעירות $\sqrt{1+(f')^2}\,dx$. הרבע את ה-נגזרת, הוסף $1$ בתוך השורש, ואינטגרל. זה גם נותן את המרחק שנעבר לאורך המסלול.