נפח בשיטת הדיסק הדק: סיבוב סביב צירים אחרים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| outer/ˈaʊtə/ | חיצוני |
| inner/ˈɪnə/ | פנימי |
מטבעות סביב קו מוזז
- החלק האחרון: סיבוב אזור בעל שתי עקומות סביב קו שאינו ציר ה-$x$ או ציר ה-$y$.
- שלב בין שתי הרעיונות שלמדנו עכשיו: מטבעות (מרווח → טבעת) ו-ציר מוזז (כוונון הרדיוס).
- הנוסחה נשארת $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$; רק $R$ ו-$r$ נמדדים מחדש לקו החדש.
- קבל את שתי המרחקים נכון והחישוב האינטגרלי יהיה שוטף.
שני הרדיוסים נמדדים לקו החדש
- עבור ציר אופקי $y=k$: $R=|\text{far curve}-k|$ ו-$r=|\text{near curve}-k|$.
- כל רדיוס הוא המרחק מ-העקומה שלו לקו המוזז, ולא ל-$y=0$.
- הרדיוס החיצוני מגיע לעקומה הרחוקה יותר מהציר; הרדיוס הפנימי לעקומה הקרובה יותר.
- אז חשב $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$ כרגיל.
שתי עקומות מעל ציר מוזז
y = ax² + bx
סיבוב סביב $y=-1$, שני הרדיוסים גדלים ב-$1$ — חיצוני $\sqrt x+1$, פנימי $x+1$; עדיין $R^2-r^2$.
סיבוב האזור בין $y=\sqrt x$ ל-$y=x$ סביב $y=-1$, הרדיוסים החיצוני והפנימי הם...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הזז את שני הרדיוסים ב-$+1$ כלפי מטה ל-$y=-1$.
עבור ציר הזז, יש למדוד מחדש ____ רדיוסים (חיצוני ופנימי) לקו החדש.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הזז את שניהם, לא רק אחד.
ב↦x ב שימו לב איזו עקומה נמצאת רחוק יותר
- הזזת הציר יכולה להחליף איזה עקומה היא חיצונית לעומת פנימית — בדוק שוב לאחר הזזת הקו.
- סיבוב סביב קו מתחת לאזור: העקומה התחתונה היא כעת הפנימית (קרובה יותר לציר).
- סיבוב סביב קו מעל האזור: התפקידים מתחלפים.
- תמיד זיהוי חיצוני/פנימי יחסית לציר הסיבוב בפועל.
לאחר הזזת הציר, עליך...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מיקום הציר יכול להחליף תפקידים של חיצוני/פנימי.
עדיין: ריבא את הרדיוסים קודם
- כמו בכל דיסק מרוקע, חסור $R^2-r^2$ — ריבא את הרדיוסים (המוזזים) לפני החיסור.
- לעולם אל תעשה $(R-r)^2$, ולעולם אל תשתמש ברדיוסים של ציר פשוט.
- שרטט שני קטעי המרחק מציר ל每一条 עקומה כדי לשמור אותם ישרים.
- לאחר מכן, אינטגרל לפי המשתנה המתאים.
גם סביב ציר מוזז, אינטגרנד הדיסק הדק הוא $R^2-r^2$, לא $(R-r)^2$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
תמיד השכפל את כל רדיוס לפני ההחסרה.
הנפח עבור $R=\sqrt x+1$, $r=x+1$ על $[0,1]$ סביב $y=-1$ הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\pi\int_0^1(2\sqrt x-x-x^2)\,dx=\pi(\tfrac43-\tfrac12-\tfrac13)=\tfrac{\pi}{2}$.
שיטת הסבולת המוזזת משלבת אילו שתי רעיונות?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
סבולת (רווח → טבעת) פלוס רדיוס מוזז.
שתי כשלים משולבים כאן: (1) הזז את שני הרדיוסים לציר החדש (לא רק אחד), ו-(2) עדיין השתמש ב$R^2-r^2$, לא ב$(R-r)^2$. אחרי ההזזה, בדוק מחדש איזו עקומה היא החיצונית — מיקום הציר יכול להחליף את התפקידים. שרטט את שני קטעי הרדיוס לציר האמיתי לפני הריבוע.
סובב את האזור בין $y=\sqrt x$ (למעלה) לבין $y=x$ (למטה) על $[0,1]$ סביב הקו $y=-1$.
- הזז את שני הרדיוסים למטה ל$y=-1$: חיצוני $R=\sqrt x+1$, פנימי $r=x+1$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^1\Big((\sqrt x+1)^2-(x+1)^2\Big)\,dx=\pi\int_0^1\big(x+2\sqrt x - x^2 - 2x\big)\,dx$.
- $=\pi\int_0^1\big(2\sqrt x - x - x^2\big)\,dx=\pi\big(\tfrac43-\tfrac12-\tfrac13\big)=\tfrac{\pi}{2}$.
שיטת הדיסק המרוקע סביב ציר מוזז: $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$, אך מדוד מחדש את שני הרדיוסים החיצוני והפנימי לקו זה (למשל, הוסף את ההזזה עבור $y=k$ מתחת לאזור). בדוק מחדש איזו עקומה היא החיצונית, וריבא כל רדיוס לפני החיסור — לעולם אל תעשה $(R-r)^2$.