נפח עם חתכים: משולשים וחצי-מעגלים
הוצגאותה רעיון, צורות פרוסה שונות
- נוסחת הנפח $V=\int_a^b A(x)\,dx$ עובדת עבור כל צורת חתך — עליכם רק לדעת את $A(x)$.
- מעבר למרובעים, ב-AP אוהבים חתכים משולשים וחצי-עיגולים.
- השלב היחיד החדש הוא נוסחת השטח הנכונה עבור הצורה הזו, הכתובה בתלות בבסיס.
- קבלו את $A(x)$ מגיאומטריה, ואז אינטגרלו כמו קודם.
חתכים משולשים
- עבור משולש שווה-צלעות בעל צלע $s$: שטח $=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2$.
- עבור משולש ישר זווית שווה-רגליים עם רגלים $s$: שטח $=\dfrac12 s^2$; משולש כללי: $\tfrac12\,\text{base}\times\text{height}$.
- השתמש באורך הבסיס $s(x)$ (הרווח שחיתוך מכסה) בנוסחת שטח המשולש המתאימה.
- $A(x)=(\text{shape constant})\cdot s(x)^2$, ואז אינטגרל.
הבסיס שבו הפרוסות משתנות
y = a·√x
אותו אזור בסיס נותן נפחים שונים תלוי בצורת הפרוסה — רק קבוע השטח כפול $s(x)^2$ משתנה.
שטח של משולש שווה-צלעות עם צלע $s$ הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
משולש שווה-צלעות: $\frac{\sqrt3}{4}s^2$.
התאם כל צורת חתך רוחב לקבוע השטח שלה (כפול $s^2$).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
כל שטח הוא הקבוע שלו כפול ריבוע הבסיס.
חיתוכים חצי-מעגליים
- חצי-עיגול בקוטר $s$ יש לו רדיוס $\dfrac{s}{2}$, ולכן שטחו הוא $\dfrac12\pi\Big(\dfrac{s}{2}\Big)^2=\dfrac{\pi}{8}s^2$.
- בסיס החיתוך הוא ה-קוטר, לכן חלק בשתי כדי לקבל את הרדיוס לפני ההעלאה בריבוע.
- $A(x)=\dfrac{\pi}{8}\big(s(x)\big)^2$.
- שימו לב למקדם זה: קוטר $\to$ רדיוס דורש חלוקה ב-2, וזו פעולה שקלה לשכוח.
חתך חצי-מעגלי יש לו קוטר על הבסיס $s(x)$. רדיוסו הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הבסיס הוא הקוטר, לכן הרדיוס הוא מחצית.
לחצי-מעגל שעוצמתו היא הבסיס $s$, עליך לחלק את $s$ לשניים כדי לקבל את הרדיוס לפני ההעלאה בריבוע.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
רדיוס $=s/2$; לשכוח זאת טעות נפוצה.
תמיד "שטח כפונקציה של הבסיס"
- כל אחד מהם הוא $A(x)=(\text{constant depending on shape})\times s(x)^2$.
- ריבוע $\to 1$; משולש שווה-צלעות $\to \tfrac{\sqrt3}{4}$; חצי-מעגל $\to \tfrac{\pi}{8}$; ישר-זווית שווה-רגעים $\to \tfrac12$.
- מצא את הבסיס $s(x)$ מהאזור, הצב אותו בנוסחת השטח של הצורה, ואינטגרל.
- החישוב האינטגרלי זהה; רק המקדם המוביל משתנה.
בסיס מתחת ל$y=\sqrt x$ על $[0,4]$, פרוסות חצי-מעגליות: $A(x)=\tfrac{\pi}{8}x$. אזי $V=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac{\pi}{8}\int_0^4 x\,dx=\tfrac{\pi}{8}\cdot8=\pi$.
נפח כל חתך רוחב הוא $\int_a^b A(x)\,dx$, כאשר $A(x)$ = (קבוע צורה) $\times s(x)$ ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
שטחים סוקלים בהתאמה לריבוע הבסיס.
עבור חצי-מעגל, בסיס החיתוך הוא ה-קוטר, ולכן הרדיוס הוא $\frac{s}{2}$ — אל תעלה את כל הבסיס בריבוע כאילו היה רדיוס. והתאים את נוסחת המשולש לסוג הנדרש (שווה-צלעות מול ישר-זווית שווה-רגעים); יש להם מקדמים שונים. הבסיס $s(x)$ עדיין הוא הרווח שחיתוך מכסה.
הבסיס הוא האזור מתחת ל$y=\sqrt x$ על $[0,4]$; החיתוכים הם חצי-מעגלים עם קוטר על הבסיס.
- קוטר $s(x)=\sqrt x$, ולכן רדיוס $=\dfrac{\sqrt x}{2}$.
- $A(x)=\dfrac{\pi}{8}(\sqrt x)^2=\dfrac{\pi}{8}x$.
- $V=\displaystyle\int_0^4 \dfrac{\pi}{8}x\,dx=\dfrac{\pi}{8}\cdot 8 = \pi$.
עבור חיתוכים משולשיים או חצי-מעגליים, השתמש ב$V=\int_a^b A(x)\,dx$ עם שטח הצורה: משולש שווה-צלעות $\frac{\sqrt3}{4}s^2$, ישר-זווית שווה-רגעים $\frac12 s^2$, חצי-מעגל $\frac{\pi}{8}s^2$ (בסיס $=$ קוטר, ולכן רדיוס $=\frac s2$). מצא את הבסיס $s(x)$ ואינטגרל.