מציאת השטח בין עקומים המוגדרים כפונקציות של y
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| horizontal slice/ˌhɒrɪˈzɒntl slaɪs/ | פרוסה אופקית |
חיתוך צדדי ב במקום מעלה-מטה
- ישנם אזורים שבהם פסות אנכיים לא נוחים — לדוגמה, פרבולה הפוכה.
- הפתרון: לחתוך לרצועות אופקיות ולבצע אינטגרציה לפי $y$ במקום $x$.
- הכל מלשיעור הקודם מסתובב ב-90°: עקומות הופכות לפונקציות של $y$, ואתה מחשב ימין פחות שמאל.
- אותה רעיון, מסובבת: חיבור רוחבי הפסק האופקי.
ימין פחות שמאל
- כתוב את הגבולות כפונקציות של $y$: $x=f(y)$ (הימני ביותר) ו$x=g(y)$ (השמאלי ביותר).
-
$$A=\int_c^d \big(f(y)-g(y)\big)\,dy$$
- לכל פס אופקי יש רוחב $f(y)-g(y)$ וגובה $dy$.
- חשב הימני פחות השמאלי כדי שהרוחב יישאר חיובי.
פרבולה הפונה לצדדים
y = ax² + bx + c
כאשר עקומים פונים לצדדים, חתכים אופקיים (ימין פחות שמאל, מו integrates in $y$) הם הבחירה הנקייה ביותר.
עם חתכים אופקיים, השטח הוא $\int_c^d(\ ?\ )\,dy$ כאשר...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
רצועות אופקיות: עקום ימני פחות עקום שמאלי.
גבולות ה↦x ב הם עכשיו ערכי y$y$
- הגבולות $c$ ו$d$ הם המינימום והמקסימום $y$ של האזור – לעיתים קרובות ערכי $y$ של נקודות החיתוך של העקומות.
- פתר $f(y)=g(y)$ (בעזרת $y$) עבור גבולות אלו.
- ביניהם, בדוק איזה עקומה נמצאת יותר מימין.
- לאחר מכן, מבצע אינטגרציה על רוחב הימין פחות השמאל מ$c$ ל$d$.
עבור אינטגרל $dy$, גבולות האינטגרציה הם...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אינטגרציה ב$y$ משמעותה גבולות $y$.
איפה נחתכים $x=y^2$ ו-$x=y+2$ (בתלות ב-$y$)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$y^2-y-2=0\Rightarrow y=-1,2$.
מתי לבחור ב$dy$ במקום ב$dx$
- העדיף פסות אופקיים כאשר העקומות טבעיות כ$x=$(פונקציה של $y$), או כאשר פסות אנכיים דורשים חלוקה.
- אזור המוגבל משמאל ומימין על ידי עקומות שונות (אולם למעלה/למטה בנקודות בודדות) הוא מצב $dy$.
- אם העקומה "העליונה" תשתנה באמצע עם פסות אנכיים, פסות אופקיים עשויים למנוע את החלוקה.
- בחר בכל מצב שבו כל פס משתרע על עקומה אחת נקייה עד עקומה אחת נקייה.
השטח החסום על ידי $x=y^2$ ו$x=y+2$ הוא $\int_{-1}^2 (y+2-y^2)\,dy$. חשב אותו (כערך עשרוני).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
הוא מתאפס ל$\tfrac92=4.5$.
לאינטגרציה על חתכים אופקיים, יש לכתוב כל גבול כ$x$ בתלויות ב$y$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הרצועות הן אופקיות, ולכן יש לבטא את $x$ כפונקציה של $y$.
חתכים אופקיים מעדיפים כאשר...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
עקומות בצדדים מתאימות לאינטגרציה ב-$dy$.
עם פסות אופקיים אתה מבצע אינטגרציה של ימין פחות שמאל לפי $y$, והגבולות הם ערכי $y$ (לא ערכי $x$). ערבוב ביניהם — שימוש בגבולות $x$ עם אינטגרל $dy$, או חיסור מעלה פחות תחתון בצורה אופקית — יניב תשובה שגויה.改写 כל עקומת גבול כ$x$ בעזרת $y$ קודם.
מצאו את השטח המוגבל על ידי $x=y^2$ ו-$x=y+2$.
- נקודות חיתוך (ב-$y$): $y^2=y+2\Rightarrow y^2-y-2=0\Rightarrow y=-1,2$.
- ב-$(-1,2)$ הישר $x=y+2$ נמצא יותר מימין (בדיקה ב-$y=0$: $2>0$).
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{2}\big((y+2)-y^2\big)\,dy=\tfrac{9}{2}$.
עבור עקומות הנתונות כפונקציות של $y$, השתמשו בפרוסות אופקיות: $A=\int_c^d\big(f(y)-g(y)\big)\,dy$, אינטגרציה הימני פחות שמאלי עם גבולות $y$ מהנקודות החוצה. בחרו ב-$dy$ כאשר הוא מאפשר לכל רצועה לעבור בצורה חלקה מעקומה אחת לשנייה ללא צורך בחלוקה.