מציאת השטח בין עקומים המבויירים כפונקציות של x
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| area between two curves/ˈeərɪə bɪˈtwiːn tuː kɜːvz/ | שטח בין שתי עקומות |
השטח הכלוא בין שתי פונקציות
- אינטגרל אחד נותן את השטח בין פונקציה לציר ה-$x$. מה לגבי השטח בין שתי פונקציות?
- לחתוך את האזור לפסים אנכיים דקים; גובה כל פס הוא הפער בין הפונקציות.
- לסכום (לבצע אינטגרציה) על הגבהים הללו לאורך הקטע — זהו השטח בין שתי פונקציות.
- הנוסחה היא "העליון פחות התחתון, משולב."
העליון פחות התחתון
- אם $f$ הוא העקומה העליונה ו$g$ התחתונה על $[a,b]$:
-
$$A=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,dx$$
- לכל רצועה אנכית יש גובה $f(x)-g(x)$ ורוחב $dx$.
- תמיד חסר עליון פחות תחתון, כך שהגובה (והשטח) נותר חיובי.
קו הנמצא מעל פרבולה
y = ax² + bx + c
בין נקודות החיתוך, הקו נמצא מעל הפרבולה — הפער האנכי, באינטגרציה, שווה לשטח הסגור.
השטח בין עקומה עליונה $f$ ועקומה תחתונה $g$ על $[a,b]$ הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
עליון פחות תחתון, באינטגרציה.
מציאת הגבולות מהצלעות
- הגבולות $a$ ו$b$ הם לרוב הנקודות שבהן העקומות נחתכות – שווה את $f(x)=g(x)$ ופתור.
- ערכי $x$ של נקודות החיתוך הללו הם הקצה השמאלי והימני של האזור הסגור.
- ביניהם, קבע איזו עקומה נמצאת למעלה (בדוק נקודה).
- לאחר מכן, חשב אינטגרל של ההפרש (עליון פחות תחתון) לאורך $[a,b]$.
איפה נחתכים $y=x+2$ ו-$y=x^2$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$x^2-x-2=0\Rightarrow x=-1,2$.
כדי לקבוע איזו עקומה נמצאת למעלה בין נקודות החיתוך, עליך...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הכנס נקודת מבחן כדי לראות מה גבוה יותר.
גבולות האינטגרציה נובעים מהשוואת שתי העקומים ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
פתור $f(x)=g(x)$ עבור ערכי המפגש $x$.
זה עובד גם מתחת לציר
- מכיוון שמשתמש ב-עליון פחות תחתון, הנוסחא מטפלת באזורים מתחת לציר $x$ אוטומטית.
- האיבר $-g(x)$ מרים הכל, ולכן אין צורך בספירה נפרדת של "שטח סימני".
- אזור הממוקם כולו מתחת לציר עדיין נותן שטח חיובי עם שיטה של עליון פחות תחתון.
- זוהי היתרון של גישת גובה הפער.
השטח בין $y=x+2$ ל-$y=x^2$ הוא $\int_{-1}^2 (x+2-x^2)\,dx$. חשב אותו (כמספר עשרוני).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ערך האינטגרל הוא $\tfrac92=4.5$.
אינטגרציה של התחתון פחות העליון נותנת את השלילי של השטח האמיתי.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הפיכת הסדר הופכת את הסימן.
תמיד חסר עליון פחות תחתון – אם תהפוך את הדרך, תקבל שלילי של השטח האמיתי. בדוק איזו עקומה נמצאת למעלה על ידי בדיקת ערך $x$ בין נקודות החיתוך (ייתכן שהן יתחלפו, וזהו שיעור הבא). וגבולות הגבויים מגיעים מהשוואת העקומות זה לזה, ולא מציר ה$x$.
מצא את השטח בין $y=x+2$ ל$y=x^2$.
- נקודות חיתוך: $x^2=x+2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x=-1,2$.
- ב$(-1,2)$ הקו נמצא למעלה (בדיקה $x=0$: קו $=2>0=$ פרבולה).
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{2}\big((x+2)-x^2\big)\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}+2x-\tfrac{x^3}{3}\Big]_{-1}^{2}=\tfrac{9}{2}$.
ה-שטח בין שתי עקומות (פונקציות של $x$) הוא $A=\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx$, כאשר מחשבים אינטגרל של עליון פחות תחתון לאורך רצועות אנכיות. מצא את $a,b$ שבו העקומות נחתכות, קבע איזו נמצאת למעלה, וחשב את ההפרש. שיטת עליון פחות תחתון שומרת אוטומטית על השטח כחיובי.