שימוש בפונקציות הצטברות ובאינטגרלים מוגדרים בהקשרים אפליקטיביים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | אינטגרל מוגדר |
התחילו כאן, הוסיפו את השינוי, הגיעו לשם
- רבות משאלות יישומיות מספקות קצב וכמות התחלתית, ודורשות סכום מאוחר יותר.
- הקשר המרכזי: ערך סופי = ערך התחלתי + שינוי מצטבר.
- השינוי המצטבר הוא האינטגרל המוגדר של הקצב לאורך התחום.
- רעיון זה אחד הוא המנוע עבור מיכלים, אוכלוסיות, חשבונות ועוד רבים.
נוסחת הצטברות
- אם $R(t)$ הוא הקצב ו-$Q$ הכמות, אז:
-
$$Q(b)=Q(a)+\int_a^b R(t)\,dt$$
- התחילו עם $Q(a)$, הוסיפו את השינוי המצטבר הנקי $\displaystyle\int_a^b R(t)\,dt$, והגיעו ל-$Q(b)$.
- זוהי משפט היסוד של האנליזה לבגדים יישומיים: אינטגרל של קצב הוא השינוי הנקי של הכמות שלו.
הזרם הנכנס המצטבר הוא השטח
y = 4t (מידת זרם נכנס)
השטח מתחת למידת הזרם הנכנס $R(t)$ הוא המים שנוספו; הסך הכל הוא הכמות ההתחלתית פלוס השטח הזה.
הקשר ההצטברותי האפליקטיבי הוא: ערך סופי =...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
סופי = התחלתי + שינוי מצטבר.
כדי למצוא את הסך הסופי, יש להוסיף את השינוי המצטבר לערך ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
סך סופי = סך התחלתי + אינטגרל של השיעור.
קריאת ההקשר והיחידות
- אינטגרל מוגדר של קצב יש לו יחידות של (יחידות הקצב)$\times$(זמן) = יחידות הגודל.
- $\int$ של ליטר לדקה לאורך דקות נותן ליטר; $\int$ של אנשים לשנה לאורך שנים נותן אנשים.
- הסימן חשוב: קצב שלילי (ניקוז, קירור) מחסר מהסך הכל.
- יש לפרש תמיד את האינטגרל במילים ובאחדויות המופיעות בעצמו השאלה.
מיכל יש לו $50$ ליטר; מים נכנסים בקצב $R(t)=4t$ במשך $0\le t\le 3$ ($\int_0^3 4t\,dt=18$). מצאו את הסך הכל ב$t=3$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$50+18=68$ L.
אם $R$ היא בליטר/דקה ו$t$ בדקות, ל$\int R\,dt$ יש יחידות של...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
(ליטר/דקה) × (דקה) = ליטר.
שינוי נטו לעומת ברוטו
- האינטגרל $\int_a^b R\,dt$ הוא השינוי הנטו — כניסה פחות יציאה.
- אם מיכל ממולא וגם מתרוקן, האינטגרל הנטו חושב אותם שניהם אוטומטית.
- כדי למצוא סך הכניסה או סך היציאה בנפרד, יש לבצע אינטגרציה רק על החלקים החיוביים או השליליים.
- אך "סופי = התחלתי + שינוי מצטבר נטו" משתמש תמיד באינטגרל עם הסימן הרגיל.
האינטגרל המוגדר של המידה נותן את השינוי, ולא את הסך הכל הסופי לבדו.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
יש להוסיף את הערך ההתחלתי.
לשיעור זרימה יוצאת (ניקוז), האינטגרל על הקטע הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
שיעור זרימה יוצא הוא שלילי → מחסר.
אל תדווח את האינטגרלבדו כסך הסופי — זהו רק השינוי. עליך להוסיף את הערך ההתחלתי: סופי $=$ התחלתי $+\int_a^b R\,dt$. ושמור על סימן הקצב: קצב יציאה הוא שלילי, ולכן האינטגרל שלו מחשב נכון פחות מהסך ההתחלתי.
מיכל מכיל $50$ ליטר ב$t=0$. מים זורמים לתוכו בקצב של $R(t)=4t$ ליטר לדקה במשך $0\le t\le 3$. כמה יש ב$t=3$?
- שינוי מצטבר: $\displaystyle\int_0^3 4t\,dt=\Big[2t^2\Big]_0^3=18$ ליטר.
- סופי $=$ התחלתי $+$ שינוי $=50+18=68$ ליטר.
- (האינטגרל $18$ הוא המים הנוספים; $68$ הוא הסך הכל.)
בהקשרים אפליקטיביים, ערך סופי = ערך התחלתי + שינוי מצטבר, כאשר השינוי הוא האינטגרל המוגדר של הקצב: $Q(b)=Q(a)+\int_a^b R(t)\,dt$. האינטגרל נושא את יחידות הגודל ואת הסימן שלו (כניסה מוסיפה, יציאה מחסרת). לעולם אל תשכחו להוסיף את הערך ההתחלתי.