מודלים לוגיסטיים עם משוואות דיפרנציאליות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| logistic/ləˈdʒɪstɪk/ | לוגיסטי |
| carrying capacity/ˈkæriɪŋ kəˈpæsɪti/ | קיבולת נשיאה |
צמיחה שמגיעה לגב
- צמיחה אקספוננציונלית טהורה עולה לנצח — לא ריאליסטית עבור אוכלוסיות אמיתיות עם משאבים מוגבלים.
- הדגם הלוגיסטי מתקן זאת: צמיחה המאטת ככל שהיא קרובה למקסימום.
- היא מתחילה כמעט אקספוננציאלית, ואז נשטחת לכיוון יכולת נשיאה $L$.
- זהו הדגם הסטנדרטי לצמיחה מוגבלת.
המשוואה הדיפרנציאלית הלוגיסטית
-
$$\dfrac{dP}{dt}=kP\Big(1-\dfrac{P}{L}\Big)$$
- החלק $kP$ הוא צמיחה דומה לאקספוננציאלית; הגורם $\big(1-\tfrac{P}{L}\big)$ מפחית אותה כאשר $P$ קרוב ל$L$.
- כאשר $P$ קטן, $1-\tfrac{P}{L}\approx1$: כמעט אקספוננציאלית. כאשר $P\approx L$, הגורם $\to0$: הצמיחה נעצרת.
- $L$ היא יכולת הנשיאה — הגב של האוכלוסייה.
המשוואה הדיפרנציאלית הלוגיסטית היא $\dfrac{dP}{dt}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
גורם הבלמה $(1-P/L)$ מאט את הגידול בקרבת $L$.
הערך המקסימלי הבר-קיימא $L$ שממנו $P$ שואף הוא קיבולת ה____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קיבולת הנשיאה היא התקרה.
התנהגות לטווח ארוך
- כאשר $t\to\infty$, $P$ שואפת ליכולת הנשיאה $L$ (עבור $0<P_0<L$).
- $P=L$ הוא איזון יציב; $P=0$ הוא איזון לא יציב.
- מתחת ל↦x$L$ האוכלוסייה עולה לכיוון $L$; מעל ↦y$L$ היא יורדת חזרה ל↦y$L$.
- לכן $L$ היא הערך שבו הדגם מסתייע, ללא תלות בנקודת ההתחלה (החיובית).
העקומה הלוגיסטית בצורת S
y = a·tanh(bx) + d (צורת S)
עקומה לוגיסטית עולה במהירות בקרבת המרכז ומתחלקת לעבר קיבולת הסביבה $L$ — הכי תלולה בנקודה $P=L/2$.
עבור $\dfrac{dP}{dt}=0.1P(1-\tfrac{P}{2000})$, מהי קיבולת הסביבה $L$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$L=2000$, הגבול לטווח הארוך.
ככל ש$t\to\infty$ (עם $0<P_0<L$), האוכלוסייה $P$ מתקרבת...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$P\to L$ מלמטה.
הצמיחה המהירה ביותר בחצי היכולת
- האוכלוסייה צומחת מהר ביותר כאשר $P=\dfrac{L}{2}$ — הנקודה האמצעית של עקומת ה-S.
- שם לעקומה הלוגיסטית יש את נקודת העיקום: הצמיחה מאיצה מתחת ל$L/2$ ומאטה מעליה.
- לפני $L/2$ הקצב עולה; לאחר מכן, הוא מתמתק לכיוון אפס.
- שיא זה בחצי היכולת הוא עובדת מבחן פופולרית.
עבור אותו דגם ($L=2000$), באילו אוכלוסייה הגידול מהיר ביותר?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
מהיר ביותר בנקודה $P=L/2=1000$.
הגידול הוא מהיר ביותר בדיוק בגודל הנשיאה $P=L$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ב-$P=L$ הגידול נפסק; הקצב המהיר ביותר הוא ב-$P=L/2$.
יכולת הנשיאה $L$ היא המקום שבו הצמיחה נעצרת ($\frac{dP}{dt}=0$ כי הגורם $\big(1-\tfrac{P}{L}\big)$ הוא $0$), לא המקום שבו היא מהירה ביותר. הקצב המרבי הוא ב$P=\tfrac{L}{2}$. אל תבלבלו בין השניים: $L$ הוא הגב שאותו האוכלוסייה שואפת אליו; $\tfrac L2$ הוא המקום שבו היא עולה הכי מהר.
אוכלוסיית דגים פועלת לפי $\dfrac{dP}{dt}=0.1P\big(1-\tfrac{P}{2000}\big)$.
- קיבולת נשיאה: $L=2000$ דגים — הגבול לטווח הארוך.
- הגדילה המהירה ביותר ב-$P=\tfrac{L}{2}=1000$ דגים.
- כאשר $t\to\infty$, $P\to 2000$ מכיוון למטה (אם החלה מתחת ל-$2000$).
המודל לוגיסטי $\frac{dP}{dt}=kP\big(1-\frac{P}{L}\big)$ מתאר גדילה מוגבלת על ידי קיבולת נשיאה $L$: קרובה-מעריכית כשהיא קטנה, ומשתיקת ככל שהיא שואפת ל-$L$ כפי ש-$t\to\infty$. הגדילה היא המהירה ביותר ב-$P=\tfrac L2$ (נקודת העיקום), ועוצרת ב-$P=L$.