מודלים אקספוננציאליים באמצעות משוואות דיפרנציאליות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | צמיחה מעריכית |
| exponential model/ˌekspəˈnenʃl ˈmɒdl/ | מודל מעריכי |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | דעיכת מעריכים |
המשוואה מאחורי הגידול המעריכי
- משוואה דיפרנציאלית אחת מופיעה בכל מקום: $\dfrac{dy}{dt}=ky$ — "קצב פרופורציונלי לכמות."
- הפתרון שלו הוא המודל האקספוננציאלי המפורסם $y=y_0 e^{kt}$.
- צמיחת אוכלוסייה, דעיכה רדיואקטיבית, ריבית מורכבת, קירור — כולם עומדים בדפוס זה.
- פתר אותו פעם אחת ותהיה בעל משפחה גדולה של מודלים מעשיים.
גזירת $y=y_0 e^{kt}$
- הפרדה: $\dfrac{1}{y}\,dy = k\,dt$. אינטגרציה: $\ln|y|=kt+C$.
- העלה בחזקה: $y = e^{kt+C}=A\,e^{kt}$.
- הניח את הסכמת ההתחלה $y(0)=y_0$: $A=y_0$.
- פתרון: $y=y_0 e^{kt}$ — הערך ההתחלתי כפול $e^{kt}$.
הפתרון של $\dfrac{dy}{dt}=ky$ עם $y(0)=y_0$ הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הפרידו ואינטגרציה: $y=y_0 e^{kt}$.
גידול כאשר $k>0$
- אם $k>0$, אז $e^{kt}$ עולה, ולכן $y$ מראה צמיחה אקספוננציאלית.
- הכמות נמשכת להכפיל עצמה — ככל שהיא גדולה יותר, כך הגידול מהיר יותר.
- $k$ הוא קצב הצמיחה (הרציף); ערך גדול יותר של $k$ מצביע על גידול מהיר יותר.
- דוגמאות: צמיחת אוכלוסיות ללא בקרה, ריבית מורכבת.
צמיחה (k>0) לעומת דעיכה (k<0)
y = a·e^{bx}
$y=y_0 e^{kt}$ עולה כאשר $k>0$ ויורד לכיוון אפס כאשר $k<0$ — הסימן של $k$ קובע את ההתנהגות.
ב-$y=y_0 e^{kt}$, צמיחה אקספוננציאלית מתרחשת כאשר...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$k>0$ גורם ל-$e^{kt}$ לגדול → צמיחה.
עבור $P=500e^{0.3t}$, מצאו את $P(0)$ (הכמות ההתחלתית).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$P(0)=500 e^0=500$.
דעיכה כאשר $k<0$
- אם $k<0$, אז $e^{kt}$ יורדת, ולכן $y$ מראה דעיכה אקספוננציאלית.
- הכמות מתכווצת לכיוון $0$ אך לעולם אינה מגיעה אליה לחלוטין.
- דעיכה רדיואקטיבית והפרשי קירור עוקבים אחר $k<0$.
- הגודל $|k|$ קובע את מהירות הדעיכה (קשור למחצית חיים).
דעיכה אקספוננציאלית מתרחשת כאשר $k$ הוא ____ (הסימן שלו).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$k<0$ גורם ל-$e^{kt}$ להתכווץ לעבר $0$.
המודל $y=y_0 e^{kt}$ חל על מצב עם קצב קבוע $\dfrac{dy}{dt}=c$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קצב קבוע נותן ישר; המודל האקספוננציאלי דורש קצב ∝ כמות.
אילו מצבים מודלים על ידי $\dfrac{dy}{dt}=ky$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
לשלושה הראשונים הקצב פרופורציונלי לכמות; ברז בעל הקצב הקבוע אינו כזה.
המודל האקספוננציאלי נובע רק מ-$\frac{dy}{dt}=ky$ (קצב פרופורציונלי ל-כמות). אל תשתמש ב-$y=y_0 e^{kt}$ במצב של קצב קבוע ($\frac{dy}{dt}=c$, שמניב ישר). סימן ה-$k$ הוא הכל: $k>0$ צומח, $k<0$ דועך — סימן שגוי הופך את כל התנהגות המודל.
מושבת חיידקים $500$ גדלה כך ש-$\dfrac{dP}{dt}=0.3P$ ($t$ בשעות). מצאו את $P(t)$ ואת $P(4)$.
- מודל: $P=P_0 e^{kt}=500\,e^{0.3t}$.
- בזמן $t=4$: $P(4)=500\,e^{1.2}\approx500(3.32)\approx1660$ חיידקים.
- מכיוון ש-$k=0.3>0$, זהו צמיחה אקספוננציאלית.
המשוואה הדיפרנציאלית $\frac{dy}{dt}=ky$ נותנת את המודל האקספוננציאלי $y=y_0 e^{kt}$, כאשר $y_0$ הוא הכמות ההתחלתית. $k>0$ → צמיחה אקספוננציאלית; $k<0$ → דעיכה אקספוננציאלית. חל רק כאשר הקצב פרופורציונלי לכמות הנוכחית.