מציאת פתרונות פרטיים באמצעות תנאי התחלה והפרדת משתנים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | תנאי התחלה |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | פתרון פרטי |
קביעת העקומה היחידה והנכונה
- הפתרון הכללי הוא משפחה עם קבוע $C$. המציאות דורשת עקומה אחת.
- תנאי התחלה — נקודה ידועה $\big(x_0,y_0\big)$ — בוחרת את החבר היחיד במשפחה.
- פתור את המשוואה באופן כללי, ואז השתמש בנקודה כדי למצוא את $C$.
- התוצאה היא הפתרון הספציפי עבור מצב זה.
העקומה היחידה שנבחרה על ידי תנאי התחלה היא פתרון ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אחד מהחברים במשפחה הכללית.
ההליך המלא
- 1. הפרד משתנים ואינטגרל את שני האגפים (עם $+C$) — הפתרון הכללי.
- 2. הצב את התנאי ההתחלתי $\big(x_0,y_0\big)$ כדי לפתור עבור $C$.
- 3. החזר את ה-$C$ הזה והפשט.
- 4. אם נדרש, פתור במפורש עבור $y$.
נקודת ההתחלה בוחרת עקומה אחת
הפתרון הכללי הוא משפחה שלמה; תנאי ההתחלה $y(x_0)=y_0$ בוחר את העקומה היחידה העוברת דרך הנקודה.
מיישמים את תנאי ההתחלה כדי למצוא $C$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קבלו תחילה את הפתרון הכללי, ולאחר מכן השתמשו בנקודה עבור $C$.
סדרו את השלבים לפתרון פרטי.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
הפרידו, אינטגרציה, השתמשו בנקודה, פשוטו.
פתרון פרטי מופיע
- פתור את $\dfrac{dy}{dx}=xy$ עם $y(0)=3$.
- הפתרון הכללי (משיעור הקודם): $y=A\,e^{x^2/2}$.
- יישם את הנקודה: $3 = A\,e^{0}=A$, ולכן $A=3$.
- פתרון פרטי: $y=3\,e^{x^2/2}$.
עבור $y=x^2+C$ עם $y(1)=5$, מצא $C$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$5=1+C\Rightarrow C=4$.
הפתרון הפרטי הוא $y=x^2+4$. מצאו $y(3)$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$3^2+4=13$.
עבור $\dfrac{dy}{dx}=xy$ עם $y(0)=3$ (פתרון כללי $y=Ae^{x^2/2}$), הפתרון הפרטי הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$y(0)=A=3$, ולכן $y=3e^{x^2/2}$.
שמור על התחום
- פתרון עבור $y$ עשוי להשתמש ב-$\ln$, שורשים או חוזרים — שימו לב היכן הפתרון תקף.
- הפתרון הפרטי בדרך כלל קיים על מרווח המכיל את $x_0$, ולא בהכרח בכל ממשי ה-$x$.
- סימן או ערך מוחלט עשויים לדרוש פתרון באמצעות הנקודה הנתונה (למשל, ה-$y_0>0$ בוחר את הענף ה-$+$).
- ציין את התחום כאשר האלגברה מגבילה אותו.
יישם את תנאי ההתחלתי אחרי האינטגרציה, כדי למצוא את ה-$C$ — לא לפני כן. השתמש בנקודה כדי לפתור ספק סימן/ענף: אם $\ln|y|=\dots$ ו-$y_0>0$, זרוך את הערך המוחלט כי $y>0$. הצבת הנקודה מוקדי מדי (כמו באזהרת הפרדת משתנים) מאבדת את המשפחה הכללית.
פתור את $\dfrac{dy}{dx}=2x$ עם $y(1)=5$.
- הפתרון הכללי: $y=x^2+C$.
- יישום $y(1)=5$: $5 = 1^2 + C \Rightarrow C=4$.
- פתרון פרטי: $y=x^2+4$.
פתרון פרטי הוא איבר אחד במשפחה הכללית שנקבע על ידי תנאי התחלתי. פתור כללית (אינטגרל, שמור על ה-$+C$), הצב את הנקודה $\big(x_0,y_0\big)$ כדי למצוא את ה-$C$, והפשט. השתמש בנקודה כדי לקבוע סימן/ענף וציין את התחום התקף.