קירוב פתרונות באמצעות שיטת אואלר
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| Euler's method/ˈɔɪləz ˈmeθəd/ | שיטת אוילר |
| step size/step saɪz/ | גודל צעד |
הליכה על פתרון צעד קטן אחד אחרי השני
- לא כל משוואה דיפרנציאלית ניתן לפתור בנוסחה — אבל עדיין אפשר לקירוב את הפתרון מספרית.
- שיטת אוילר עוקבת אחר שדה השיפוע בצעדים ישרים קטנים מהנקודה ההתחלתית.
- בכל נקודה, השתמש במשוואה הדיפרנציאלית כדי לקבל את השיפוע, ואז צעד קדימה לאורכו.
- חזור על הפעולה, ותקבל עקומת פתרון מקריבה.
נוסחת העדכון
- נתון $\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)$ ונקודת התחלה $(x_0,y_0)$, בחר גודל צעד קבוע $h$:
-
$$y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n),\qquad x_{n+1}=x_n+h$$
- ה-$y$ החדש = ה-$y$ הישן + (שיפוע במקום זה) × (צעד $h$).
- מדובר ב"ערך נוכחי פלוס שיפוע כפול צעד" — קפיצה לאורך משיק.
שלב לאורך שדה השיפועים
שיטת אואלר עוברת צעדים ישרים קצרים לאורך שדה השיפועים — צעדים קטנים יותר נמשים טוב יותר בעקומה האמיתית.
כלל העדכון של אואלר הוא $y_{n+1}=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ערך $y$ ישן פלו שיפוע כפול צעד.
הגודל הקבוע $h$ המשמש בכל צעד אולר נקרא גודל ה____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$x$ מתקדם בגודל הצעד $h$ בכל איטרציה.
צעד אחר צעד בטבלה
- סדר את העבודה בטבלה: בכל שורה, קרא את ה-$(x_n,y_n)$, חשב את השיפוע $f(x_n,y_n)$, ואז קבל את ה-$y_{n+1}$.
- קדם את ה-$x$ ב-$h$ בכל שורה וחזור על כך עד שתגיע ליעד ה-$x$.
- כל צעד הוא פשוט חישוב; המשוואה הדיפרנציאלית מספקת את השיפוע.
- לאחר מספר שורות תקבל ערך מקורב של ה-$y$ ביעד.
עבור $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, $h=0.5$: השיפוע בנקודה $(0,1)$ הוא $1$. מצא את $y_1$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$1+0.5(1)=1.5$.
בהמשך (עם $y_1=1.5$ בנקודה $x=0.5$ ושיפוע $=2$), מצא את $y(1)\approx y_2$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$1.5+0.5(2)=2.5$.
דיוק וגודל צעד
- שיטת אוילר היא רק מקרה מקרב — היא עוקבת אחר משיקים ישרים ולכן סוטה מהעקומה האמיתית.
- צעד קטן יותר $h$ נותן הערכה מדויקת יותר (אולם דורש יותר צעדים).
- בעקומה קעורה כלפי מעלה, אוילר נוטה להערכת ערך נמוכה מדי; בעקומה קעורה כלפי מטה, להערכת ערך גבוהה מדי.
- יותר צעדים, פחות טעות — זוהי ההחלפה הקלאסית בין דיוק למספר צעדים.
שימוש בגודל שלב קטן יותר $h$ בדרך כלל הופך את הערכת אואלר...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
צעדים קטנים יותר סוטים פחות מהעקומה האמיתית.
יש לחשב מחדש את השיפוע בכל נקודה חדשה, ולא להשתמש בשיפוע ההתחלתי.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
השיפוע $f(x_n,y_n)$ משתנה בכל צעד.
השתמש בשיפוע בנקודה הנוכחית $(x_n,y_n)$ לכל צעד, ולא בשיפוע קבוע. כל צעד מעדכן גם את ה-$x$ (ב-$h$) וגם את ה-$y$ (ב-$h\cdot f$). טעות נפוצה היא שימוש בשיפוע ההתחלתי לכל הצעדים — השיפוע חייב להיות מחושב מחדש בכל נקודה חדשה.
מצא ערך מקורב של ה-$y(1)$ עבור $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, עם צעד $h=0.5$.
- צעד 1: השיפוע ב-$(0,1)$ הוא $0+1=1$; $y_1=1+0.5(1)=1.5$, $x_1=0.5$.
- צעד 2: השיפוע ב-$(0.5,1.5)$ הוא $0.5+1.5=2$; $y_2=1.5+0.5(2)=2.5$, $x_2=1$.
- ולכן $y(1)\approx 2.5$.
שיטת אילר ממשתמש בקירוב פתרון למשוואה דיפרנציאלית על ידי צעדים לאורך מגעים: $y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n)$ עם גודל צעד קבוע $h$, מחשב מחדש את השיפוע בכל נקודה. זהו קירוב (צעדים ישרים סוטים מהעקומה); גודל צעד קטן יותר $h$ משפר את הדיוק.