הסקה באמצעות שדות שיפעות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| solution curve/səˈluːʃn kɜːv/ | עקומת פתרון |
| long-term behavior/lɒŋ tɜːm bɪˈheɪvjə/ | התנהגות לטווח ארוך |
מעקב אחרי החצים לעבר עקומה
- שדה שיפוע הוא סט של כיווני מגע; עקומת פתרון עוברת ביניהם.
- התחל בנקודה נתונה והזז את עצמך כך שתשמור תמיד על מגע עם הקווים הסמוכים.
- העקומה שתסמן היא הפתרון הפרטי העובר דרך הנקודה הזו.
- אין צורך בנוסחה — אתה מסיק לגבי הפתרונים ישירות מהשדה.
עקומת פתרון בעוברת דרך שדה שיפעות חייבת תמיד להישאר...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הוא עוקב אחר כיווני המשיק.
שרטוט פתרון דרך נקודה
- הצב את עפרונך בנקודה הנתונה ועקוב אחרי השיפוע המקומי, כיופף כשהקווים מתכוונים.
- לעולם אל תחצה את הקווים בזווית שגויה — תנועע תמיד אורך אותם.
- נקודות התחלה שונות נותנות חברים שונים במשפחת הפתרונות.
- הקווים פועלים כמו זרם, ועקומתך היא סירה המדנדת איתו.
חלקו עקומה דרך השדה
עקומת פתרון נשארת מגיעה למשיק בכל קטע פסולתי שעובר עליו — גררו את נקודת ההתחלה וצפו היא תעקוב אחרי השדה.
התנהגות לטווח הארוך מהדפוס
- הסתכל רחוק ימינה (ערכים גדולים של $x$ או $t$) וקרא את ההתנהגות לטווח הארוך של הפתרונות.
- האם הקווים הופכים שטוחים לכיוון קו אופקי? הפתרונות שואפים לערך זה (איזון).
- האם הם הופכים לתלולים כלפי מעלה לנצח? הפתרונות גדלים ללא גבול.
- הצורה הכללית של השדה חוזה לאן הפתרונות יגיעו בסוף.
התמונה הכוללת של שדה שיפועים חוזאת את התנהגות ה____ של הפתרונות.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קראו לאן קטעי הקו מצביעים את הפתרונות כאשר $x$ גדל.
איזונים: יציבים או לא יציבים
- שורה אופקית של קווים היא איזון — פתרון קבוע.
- אם פתרונות סמוכים מכופפים לכיוונו, האיזון הוא יציב (מושך).
- אם המשיקות מתעקמות רחוק, זהו אי-יציבות.
- קריאה האם החצים מצביעים אל כיוון הקו או רחוק ממנו מסייעת לקבוע את סוג האיזון.
שתי פתרונות שונים של אותו משוואה יכולים לחצות זה את זה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
לכל נקודה יש שיפוע אחד, ולכן פתרונות לעולם לא חוצים זה את זה.
עבור $\dfrac{dy}{dt}=y$, האיזון $y=0$ הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מעל $0$ השיפועים דוחפים כלפי מעלה, מתחתם דוחפים כלפי מטה → הרחקה מ$0$.
שורה אופקית של קטעי קו בשדה שיפועים מייצגת...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
שיפוע $0$ בכל מקום לאורכו → פתרון קבוע.
בחרו את כל האמיתיות הנכונות לגבי נקודות איזון.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
נקודות איזון יכולות להיות בכל $y$ שבו הקצב הוא $0$; כיוון פנימה = יציבה, כיוון החוצה = בלתי יציבה.
משיק פתרון חייבת להישאר משיקה לשדה השיפועים — היא עוברת לאורך הקטעים, אך אינה חוצה אותם. שני משיקי פתרון שונים לאותו משפט לעולם לא נחתכים (כל נקודה בעלת שיפוע יחיד). אם במשורט שלך משיקים נחתכים, ציירת לא נכון.
עבור $\dfrac{dy}{dt}=y$, תאר פתרונות העוברים דרך $(0,1)$ ו$(0,-1)$.
- הקו $y=0$ הוא איזון (שיפוע $0$ בנקודה זו).
- מעליו ($y>0$), השיפועים חיוביים → הפתרון העובר דרך $(0,1)$ גדל הרחק מ$0$.
- מתחתיו ($y<0$), השיפועים שליליים → הפתרון העובר דרך $(0,-1)$ יורד הרחק מ$0$.
- לכן $y=0$ הוא איזון לא יציב — הפתרונים נברחים ממנו.
כדי לנתח שדה שיפועים, יש למסור משיק פתרון על ידי שמירה על משיקה לקטעים העוברים דרך נקודה נתונה. הדפוס הכללי של השדה חושף התנהגות ארוכת טווח — הפתרונות עשויים להתקרב לאיזון (יציב) או להיפרד ממנו (לא יציב). משיקי פתרון לעולם אינם נחתכים.