מודולציה של מצבים באמצעות משוואות דיפרנציאליות
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | משוואה דיפרנציאלית |
משוואות המתארות את השינוי עצמו
- חוקים רבים בעולם האמיתי מתארים לא כמות, אלא כמה מהר היא משתנה.
- משוואה דיפרנציאלית מקשרת פונקציה לנגזרות שלה.
- "האוכלוסייה גדלה בקצב פרופורציונלי לגודלה" מתורגם ל-$\dfrac{dP}{dt}=kP$.
- פתרון המשוואה מחזיר את הפונקציה; יחידה זו עוסקת בכתיבה ופתרון משוואות מסוג זה.
שדה משי slopes של משוואת קצב
המשוואה $\tfrac{dy}{dt}=ky$ אומרת שהקצב פרופורציונלי ל$y$ — שדה ה-m slopes שלה מראה את הגידול שהוא מדגם.
משוואה דיפרנציאלית מקשרת פונקציה ל…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
היא כוללת את הפונקציה ואת הנגזרות שלה.
תרגום מילים למשוואת קצב
- הביטוי "הקצב של שינוי $y$" הוא $\dfrac{dy}{dt}$ — הצד השמאלי של המשוואה שלך.
- "פרופורציונלי ל-$y$" → $ky$; "פרופורציונלי להפרש מ-$M$" → $k(M-y)$.
- התאם את התיאור באנגלית של הקצב לביוטו in $y$ (ואולי גם $t$).
- הדגם כולו הוא: (קצב שינוי) = (הביטוי הזה).
"קצב השינוי של $y$ הוא פרופורציונלי ל$y$" הופך ל-…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קצב שינוי $\frac{dy}{dt}$ = $k$ כפול $y$.
מים זורמים בקצב פרופורציונלי לכמות $W$. הדגם הוא…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ניקוז פירושו ירידה → קצב שלילי: $-kW$.
ביטויים נפוצים בדגמים
- פרופורציונלי לכמות: $\dfrac{dy}{dt}=ky$ — גידול/דעיכה אקספוננציאליים.
- פרופורציונלי לכמות הקיימת וגם שנותרה: $\dfrac{dy}{dt}=ky(M-y)$ — מסוג לוגיסטי.
- קצב קבוע: $\dfrac{dy}{dt}=c$.
- קריאת הביטוי מדריך אותך לצד הימני.
התאם כל ביטוי לביטוי הקצב המתאים לו.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
קרא את הביטוי כדי לבנות את צד ימין.
למשוואה דיפרנציאלית יש משפחה של פתרונות
- לעומת משוואה אלגברית (מספר אחד לא נודע), למשוואה דיפרנציאלית יש פונקציה לא נודעת.
- הפתרון הוא בדרך כלל משפחה של פונקציות (עם קבוע), ולא תשובה אחת.
- חבר ספציפי נקבע מאוחר יותר על ידי תנאי התחלה (שיעור 7.7).
- כרגע, המטרה היא רק ל-כתוב את המשוואה מהמצב הנתון.
$y=kt$ (ללא נגזרת) היא משוואה דיפרנציאלית.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
משוואה דיפרנציאלית חייבת להכיל נגזרת.
הפתרון של משוואה דיפרנציאלית הוא בדרך כלל ____ של פונקציות, ולא פונקציה אחת.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קבוע נשאר עד שתנאי התחתי יקבע אותו.
משוואה דיפרנציאלית מכילה גזירה — זוהי הצהרה על קצב, ולא על הכמות עצמה. "$y$ פרופורציונלי ל-$t$" ($y=kt$) אינה משוואה דיפרנציאלית; "קצב השינוי של $y$ פרופורציונלי ל-$y$" ($\frac{dy}{dt}=ky$) כן. חפשו ביטויים הקשורים ל"קצב שינוי".
"מים במכל דורשים בקצב פרופורציונלי לכמות המים $W$." כתבו את המודל.
- קצב השינוי של $W$: $\dfrac{dW}{dt}$.
- פרופורציונלי ל-$W$, והכמות דורשת (קטנה) → $\dfrac{dW}{dt}=-kW$ (עם $k>0$).
- הסימן השלילי מקודד את העובדה שהמים מתמעטים.
משוואה דיפרנציאלית מקשרת פונקציה ל-גזירותיה — היא מדגמנת *קצב שינוי. תרגמו את המילים: "קצב השינוי של $y$" הוא $\frac{dy}{dt}$, "פרופורציונלי ל-$y$" הוא $ky$, ועוד. הפתרון שלה הוא משפחה של פונקציות, הנקבעת לאחר מכן על ידי תנאי התחלה.