חישוב אינטגרלים לא תקינים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/ | אינטגרל לא רגיל |
| infinite limit/ˈɪnfɪnət ˈlɪmɪt/ | גבול אינסופי |
| unbounded integrand/ʌnˈbaʊndɪd ˈɪntɪɡrænd/ | פונקציית גוף בלתי מוגבלת |
אינטגרציה בתחום אינסופי (או בלתי מוגבל)
- אינטגרל מוגדר רגיל בעל גבולות סופיים ואינטגרנד סופי. אינטגרל מוגדר שובר אחד מהתנאים הללו.
- ישנם שתי דרכים שהאינטגרל הופך למוגדר: גבול אינסופי של האינטגרציה (כמו ב-$\int_1^\infty$), או אינטגרנד בלתי מוגבל (אסימפטוטה אנכית בתוך התחום).
- אין אפשרות פשוטה של "הצבת $\infty$" או חישוב נקודת התפוררות, ולכן משתמשים בגבול.
- האינטגרל מתכנס אם הגבול הוא מספר סופי, והוא מתפער במקרה ההפוך.
אינטגרל הוא לא תקין כאשר...
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
גבול אינסופי או פונקציית אינטגרציה שאינה מוגבלת → אינטגרל לא רגיל.
ניתן לחשב אינטגרל לא רגיל על ידי הצבה ישירה של $\infty$ בפונקציה הקדומה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
חובה לקחת גבול במקום זאת.
גבולות אינסופיים → גבול
- החלף את הגבול האינסופי במשתנה, נגזר, ואז תן לו להתקרב לאינסוף:
-
$$\int_a^\infty f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx$$
- חשב את האינטגרל הרגיל עד $b$, ולאחר מכן קח את הגבול כאשר $b\to\infty$ מתקרב.
- אם הגבול הוא סופי, האינטגרל המוגדר מתכנס לערכו.
הזנב האינסופי תחת 1/x²
y = 1/x²
השטח תחת $1/x^2$ בין $1$ ל-$\infty$ הוא סופי ($=1$) גם אם האזור לעולם אינו מסתיים — אינטגרל לא תקין קונורגנטי.
$\displaystyle\int_a^\infty f\,dx$ מוגדר כ-...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זהו הגבול של האינטגרל הרגיל.
פונקציית אינטגרציה בלתי מוגבלת → גבול בנקודת הבעיה
- אם $f$ מתפוצץ בקצה $c$, התקרב אליו באמצעות גבול במקום לחשב ישירות שם:
- $\displaystyle\int_a^c f\,dx=\lim_{t\to c^-}\int_a^t f\,dx$ (וכמו כן מהצד השני).
- $\int_0^1 \tfrac{1}{\sqrt x}\,dx$ היא אי-מסודרת ב-$0$ — קח את $\lim_{t\to0^+}\int_t^1$.
- אותו עיקרון: התקרב לסינגולריות באמצעות גבול.
חשב את $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\lim_{b\to\infty}(1-\tfrac1b)=1$.
התכנסות או התנתקות
- מתכנס: הגבול הוא מספר סופי — מספר זה הוא הערך.
- מתנתק: הגבול הוא אינסופי או שאינו קיים — האינטגרל אין לו ערך סופי.
- זוג מפורסם: $\int_1^\infty\tfrac{1}{x}\,dx$ מתנתק, אך $\int_1^\infty\tfrac{1}{x^2}\,dx$ מתכנס (ל-$1$).
- ההבדל — אותם פונקציות אינטגרציה נראים זהים, אלא עם גורל הפוך — הוא כל העניין.
מה קורה ל-$\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x}\,dx$?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ → מתבדר.
אינטגרל לא רגלי ____ אם גבול ההגדרה שלו הוא מספר סופי.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
גבול סופי → מתכנס.
אין לך לעשות טיפול באינטגרל מוגדר כמו באינטגרל רגיל — הצבה של $\infty$ או נקודת התפוצצות היא חסרת משמעות. תמיד חידש אותה כ-גבול והערכ את הגבול הזה. וזהה סינגולריות פנימיות: אם פונקציית האינטגרציה מתפוצצת בתוך $[a,b]$, חלק את האינטגרל בנקודה זו ועסק בכל חלק בנפרד.
חשב את $\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$.
- נסח מחדש: $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\Big[-\tfrac1x\Big]_1^b$.
- $=\displaystyle\lim_{b\to\infty}\Big(-\tfrac1b+1\Big)=0+1=1$.
- הגבול הוא סופי, ולכן האינטגרל מתכנס ל-$1$.
אינטגרל לא רגיל בעל גבול אינסופי או פונקציית אינטגרציה שאינה חסומה. כתבו אותו מחדש כגבול של אינטגרל רגיל: $\int_a^\infty f=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f$ (או גבול המתקרבת לנקודת סינגולריות). האינטגרל מתכנס אם הגבול סופי, ואחרת הוא מתפזר.