אינטגרציה באמצעות שברים חלקיים ליניאריים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| Partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | שברים חלקיים |
| linear factor/ˈlɪnɪə ˈfæktə/ | גורם ליניארי |
פיצוץ שבר קשה אחד לשברים קלים
- חלק מפונקציות רציונליות לא ניתן לאינטגרציה ישירה, אך כאשר מופרדות הן הופכות ללוגריתמים פשוטים.
- פירוק לשברים חלקיים כותב שבר אחד כ-סכום של שברים קטנים יותר.
- לכל חלק יש גורם ליני בודד במכנה שלו — קל לאינטגרציה כ-$\ln$.
- זה ההפך מהוספת שברים מעל מכנה משותף.
הגדרת הפירוק
- התחילו עם פונקציה רציונלית whose מכנה מתפרק ל-גורמים ליניים נפרדים.
- $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$ עבור קבועים $A,B$ שיש למצוא.
- כל גורם לינייני ייחודי $(x-r)$ מקבל את הביטוי $\dfrac{\text{constant}}{x-r}$ הייחודי שלו.
- (המעלה של המונה חייבת להיות קטנה מזו של המכנה — יש לבצע חלוקה לפני כן אם לא כך).
פונקציה רציונלית לפירוק
y = a / (x − b)
שבר עם $(x-1)(x+2)$ בשורשים יש לו שני אסימפטורות אנכיות; פירוק לשברים חלקיים מפרק אותו לשני חלקים פשוטים $\ln$.
הצורה של שברים חלקיים עבור $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$ היא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
קבוע אחד לכל גורם לינייاري יחיד.
אם דרגת המונה אינה קטנה מדרגת המכנה, עליכם לבצע חלוקה תחילה.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
שימוש בשברים חלקיים דורש שבר נכון.
לימוד זה עוסק במכנים שמדוברים לגורמי ____ יחידים.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
גורמים ליניאריים יחידים $(x-r)$.
מציאת הקבועים
- נכפיל את שני האגפים במכנה המשותף כדי לבטל את השברים.
- לאחר מכן נמצא את $A,B$ על ידי התאמת מקדמים או בהצבה של השורשים (מסלול קצר ומהיר).
- עבור $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}$: ב-$x=1$, ערך $1=A(3)\Rightarrow A=\tfrac13$; ב-$x=-2$, ערך $1=B(-3)\Rightarrow B=-\tfrac13$.
- כעת האינטגרל הוא סכום של חלקים פשוטים.
עבור $\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$, מצאו $A$ (הציבו $x=1$).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ב-$x=1$: $1=A(3)\Rightarrow A=\tfrac13$.
אינטגרציה של החלקים
- כל $\dfrac{A}{x-r}$ מתאייר ל-$A\ln|x-r|$.
- $\displaystyle\int\dfrac{1}{(x-1)(x+2)}\,dx=\tfrac13\ln|x-1|-\tfrac13\ln|x+2|+C$.
- ולכן אינטגרל רציונלי מסובך הופך לסדרה של לוגריתמים.
- ניתן לשלב אותם או להשאיר את הלוגריתמים כפי שהתשובה דורשת.
כל חלק מהשברים החלקיים $\dfrac{A}{x-r}$ מתאפיין ב-...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\int\tfrac{A}{x-r}\,dx=A\ln|x-r|$.
$\displaystyle\int\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}\,dx$ (עם $A=1$, $B=-1$) שווה ל-...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
נאסוף את $\tfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{x+4}$.
שיטה של שברים חלקיים דורשת שמעלת המונה תהיה קטנה ממעלת המכנה — אם לא, יש לבצע חלוקה ארוכה תחילה. כמו כן, יש להניח שהמכנה מתפרק באמת לגורמים לינייניים; גורם חוזר $(x-r)^2$ או משוואה ריבועית שאינה ניתנת לפירוק דורשים ביטויים נוספים (מעבר למקרה של גורמים לינייניים ייחודיים שנלמדו בשיעור זה). לכל גורם ייחודי מתאים בדיוק קבוע אחד.
חשב את $\displaystyle\int\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}\,dx$.
- פירוק: $\dfrac{5}{(x-1)(x+4)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+4}$. ב-$x=1$: $5=5A\Rightarrow A=1$; ב-$x=-4$: $5=-5B\Rightarrow B=-1$.
- $\displaystyle\int\Big(\tfrac{1}{x-1}-\tfrac{1}{x+4}\Big)\,dx=\ln|x-1|-\ln|x+4|+C$.
שברים חלקיים מפצלים פונקציה רציונלית בעלת גורמים לינייניים ייחודיים לסכום $\frac{A}{x-r_1}+\frac{B}{x-r_2}+\cdots$; מוצאים את הקבועים (על ידי התאמת מקדמים או הצבת שורשים), ואז מאיירים כל חלק לקבלת $\ln$. דורש שמעלת המונה תהיה ⟨$<$⟩ מעלת המכנה — לחלק תחילה אחרת.