משפט היסוד של החשבון והאינטגרלים המוגדרים
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | פונקציה אנטי-פרוץ |
חישוב שטח ללא חיבור מלבנים
- סכומי ריימן מעניקים את הרעיון של אינטגרל מוגדר, אך סכום אינסופי של מלבנים הוא בלתי פרקטי.
- החלק השני של משפט היסוד של החישוב האינפיניטסימלי מספק דרך קיצור.
- מצאו פונקציה מקדימה $F$ (פונקציה שהגזרתה היא $f$), ולאחר מכן חסרו את ערכיה בגבולות.
- האינטגרציה הופכת להיות "הפוך את הגזירה, והכנס שני מספרים."
פונקציה $F$ עם $F'=f$ נקראת ____ של $f$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
חלק 2 מהתאוריה היסודית לחישוב אינטגרלים מחשב פונקציה אנטי-נגזרת בגבולות.
משפט הערכה
- אם $F'=f$ (כלומר $F$ היא פונקציה מקדימה של $f$), אז:
-
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$
- חשבו $F$, העריכו אותה בגבול העליון ובגבול התחתון, וחסרו.
- השטח הממוצע המדויק יוצא באופן טבעי – ללא מלבנים, ללא גבולות סכומים.
השטח המדויק, מחושב
y = x²
FTC חלק 2 הופך את האזור המוצל בעזה ל-$F(2)-F(0)$ — פונקציה נגזרת המוערכת בגבולות.
FTC חלק 2 אומר כי $\int_a^b f\,dx=$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
הערכו פונקציה מקיימת בגבול העליון פחות הגבול התחתון.
סימון קו ההערכה
- דרך מסודרת להציג את ההערכה בשני שלבים: $\Big[F(x)\Big]_a^b = F(b)-F(a)$.
- כתבו את הפונקציה המקדימה בסוגריים עם הגבולות, ולאחר מכן חסרו "עליון פחות תחתון".
- שמרו על הסדר: ערך הגבול העליון פחות ערך הגבול התחתון.
- הפיכת הסדר הופכת את הסימן (תואמת את תכונת חילוף הגבולות).
חשב $\int_0^2 x^2\,dx$ באמצעות $F(x)=\tfrac{x^3}{3}$. (הקלד מספר עשרוני.)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac{8}{3}-0=\tfrac83\approx2.667$.
חישוב $F(a)-F(b)$ במקום חישוב $F(b)-F(a)$ נותן את הערך הנכון.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זה הופך את הסימן — השתמשו בגבול עליון פחות גבול תחתון.
חשב את $\int_1^3 2x\,dx$ באמצעות $F(x)=x^2$.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$F(3)-F(1)=9-1=8$.
כל פונקציה מקדימה מתאימה
- אם $F$ הוא פונקציה מקיימת אחת, אזי גם $F+C$ היא כזו לכל קבוע — אך ה-$+C$ מובטל ב-$F(b)-F(a)$.
- לכן עבור אינטגרל מוגדר ניתן לבחור את הפונקציה המקיימת הפשוטה ביותר ולהתעלם מ-$+C$.
- (הקבוע רלוונטי רק לאינטגרלים בלתי מוגדרים, שיעור 6.8.)
- בדוק על ידי גזירה של ה-$F$ שלך: תקבל שוב $f$.
באינטגרל מוגדר, הקבוע $+C$ של הפונקציה האנטי-נגזרת...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$.
עליך להשתמש בפונקציית מקיימת אמיתית ($F'=f$), ולאחר מכן לחשב $F(b)-F(a)$ בסדר זה. החלפה ל-$F(a)-F(b)$ תהפוך את הסימן. ה-$+C$ מובטל באינטגרל מוגדר, ולכן אין צורך לדאוג מכאן — אך יש לוודא את ה-$F'=f$, אחרת כל התשובה תהיה שגויה.
חשב את $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx$.
- פונקציית מקיימת של $x^2$ היא $F(x)=\dfrac{x^3}{3}$ (שכן $F'=x^2$).
- $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^2 = \tfrac{2^3}{3}-\tfrac{0^3}{3}=\tfrac{8}{3}$.
- דבר מאשר את הערכת סכום רימן הקודמת של $\approx2.67$.
FTC חלק 2: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$, כאשר $F$ היא כל פונקציית מקיימת של $f$ ($F'=f$). מצא את ה-$F$, והערכה בגבול העליון פחות הגבול התחתון. ה-$+C$ מובטל, ולכן כל פונקציית מקיימת עובדת — דבר זה הופך שטח לחישוב פשוט.