פרשנות התנהגות פונקציות הצטברות הקשורות לשטח
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| extrema/ekˈstremə/ | נקודות קיצון |
קריאת $g$ מגרף $f$
- אם $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, אז לפי חלק 1 מחוק האינטגרציה והנגזרה, $g'=f$ — ולכן $f$ היא הנגזרת של $g$.
- משמעות הדבר שכל מה שמיועד ליחידה 5 חל: השתמש ב-$f$ (כ-$g'$) כדי לנתוח את $g$.
- הסימן של $f$ מספר לכם היכן $g$ מתגבר ומתעכב.
- האפסים של $f$ (היכן שהוא משנה סימן) מיישרים את מקומות הקיצונים של $g$.
בעת ניתוח $g(x)=\int_a^x f\,dt$, הגרף של $f$ משמש כגרף של $g'$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
FTC חלק 1: $g'=f$.
עלייה/ירידה לפי הסימן של $f$
- כאשר $f(x)>0$: $g$ גדל (שטח נוסף).
- כאשר $f(x)<0$: $g$ קטן (שטח נגרע).
- לכן הסתכלו על גרף $f$: מעל הציר → $g$ עולה; מתחת → $g$ יורד.
- $g$ הוא סכום השטח המצטבר עם סימן, ולכן כיוונו עוקב אחר סימן $f$.
g עולה כאשר f חיובי
y = f(t) (האינטגרנד = g′)
בעוד ש-$f$ (הגובה המוצל) חיובי, השטח המצטבר $g$ גדל; כאשר $f$ הופך לשלילי, $g$ יורד.
עבור $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, $g$ עולה בדיוק שם...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$g'=f$, לכן $g$ עולה כאשר $f>0$.
קיצונים של $g$ כאשר $f$ משנה סימן
- $g$ הוא מקסימום מקומי כאשר $f$ (הגזירה שלו) משנה כיוון מ-חיובי לשלילי.
- ל-$g$ יש מינימום מקומי כאשר $f$ משנה משלילי לחיובי.
- אלו פשוט בדיקת הנזילה הראשונה המיושמת על $g$, תוך שימוש ב-$f$ כ-$g'$.
- הקיצונים של פונקציית ההיצבר נמצאים בנקודות חציית ציר ה-$x$ של $f$.
ל-$g$ יש מקסימום מקומי כאשר $f$ משנה את...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$g'=f$ עובר מ-$+\to-$ → מקסימום מקומי של $g$.
מהגרף של $f$ ניתן לקרוא איזה מאפיינים של $g=\int_a^x f\,dt$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
עלייה/ירידה, מקסים ומינימום, קעוות — הכל מהגרף של $f$. ערכים מדויקים דורשים חישוב השטח בפועל.
קעירות של $g$ מהשיפוע של $f$
- מכיוון ש-$g'=f$, אנו מקבלים $g''=f'$ – ולכן קעירותה של $g$ עוקבת אחר השיפוע של $f$.
- כאשר $f$ גדל, $g$ קעורה כלפי מעלה; כאשר $f$ קטן, $g$ קעורה כלפי מטה.
- נקודת היפוך של $g$ נמצאת כאשר ל-$f$ יש מקסימום או מינימום מקומי (כאשר $f'$ משנה סימן).
- גרף אחד של $f$ מספק מידע על עלייה/ירידה וגם קעורותה של $g$.
מכיוון ש-$g''=f'$, $g$ קעור כלפי מעלה כאשר $f$ הוא ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$g''=f'>0$ כאשר $f$ עולה.
ערך חיובי גדול של $f$ ב-$x$ מצביע על כך ש-$g$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$f=g'$ היא הקצב; ערך גדול של $f$ מצביע על כך ש-$g$ עולה מהר, ולא ש-$g$ גדול.
כדי לנתח את $g(x)=\int_a^x f\,dt$, התנהגו כשה-גרף של $f$ הוא הגרף של $g'$. אל תקראו את גובהו של $f$ כגובהו של $g$ – קראו את הסימן של $f$ עבור עלייה/ירידה של $g$, ואת שינויי הסימן של $f$ עבור קיצונים של $g$. ערך חיובי גדול של $f$ מצביע על כך ש-$g$ עולה מהר, ולא על כך ש-$g$ גדול.
$g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$, כאשר $f>0$ על $(0,3)$, $f(3)=0$ ו-$f<0$ על $(3,5)$.
- על $(0,3)$: $f>0$ → $g$ גדל. על $(3,5)$: $f<0$ → $g$ קטן.
- ב-$x=3$: $f$ משנה $+\to-$ → ל-$g$ יש מקסימום מקומי.
- לכן $g$ עולה לשיא ב-$x=3$, ואז יורד.
עבור $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, השתמש ב-$g'=f$: $g$ גובר שם ש-$f>0$, יורד שם ש-$f<0$, ולו יש נקודות קיצון שם ש-$f$ משנה סימן. מכיוון ש-$g''=f'$, פונקציית $g$ קעורה כלפי מעלה שם ש-$f$ גובר. קרא את הגרף של $f$ כגרף של $g'$.