סכומי רימן, סימון סכום וסימון אינטגרל מוגדר
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| summation notation/sʌˈmeɪʃn nəʊˈteɪʃn/ | סימון סכום |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | אינטגרל מוגדר |
| limits of integration/ˈlɪmɪts ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | גבולות אינטגרציה |
כתיבת "סכום כל המלבנים" בצורה קומפקטית
- סכום ריימן עם מספר רב של מלבנים דורש סימון מסודר — השתמש בסימון סכום.
- $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ פירושו "הוסף $f(x_i)\,\Delta x$ עבור $i=1$ עד $n$.""
- לכל פס יש רוחב $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ וגובה $f(x_i)$ בנקודת דגימה.
- ה$\Sigma$ פשוט אומר "סכום את שטחי המלבנים הללו."
עבור $n$ פסים שווים ב-$[a,b]$, הרוחב $\Delta x$ הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
רוחב התחום חלקי למספר הפסים.
הסימול $\sum_{i=1}^{n}$ אומר לך לעשות...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
סיגמה פירושה סכום בתוך טווח האינדקס.
תן למלבנים להימדד אינסופית
- ההערכה משתפרת ככל ש$n$ גדל ו$\Delta x$ מצטמצם. נגזור את הגבול $n\to\infty$.
- בגבול זה, סכום המלבנים הופך לשטח מדויק — אין עוד קירוב.
- הערך הגבולי הזה הוא האינטגרל הנקוב.
-
$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$$
האינטגרל הוא השטח המדויק
y = x²
כשהמלבנים הופכים דקים ללא גבול, הסכום שלהם הופך לשטח המוצל המדויק — האינטגרל המוגדר.
האינטגרל המוגדר $\int_a^b f\,dx$ הוא הגבול של סכום רימן כאשר...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
אינסוף מלבנים אינסופיים דקים → שטח מדויק.
קריאת סימון האינטגרל
- $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$: ה$\int$ הוא 'S' מאורך לסכום; $a$ ו$b$ הם גבולות האינטגרציה.
- $f(x)$ הוא האינטגרנד (מה שאנו מצטברים); $dx$ הוא הרוחב האינסופית הדקה.
- קרא זאת "האינטגרל של $f$ לפי $x$, מ$a$ ועד $b$.""
- הוא מייצג את השטח הנקוד המדויק בין העקומה לציר ה$x$ על $[a,b]$.
ב-$\int_a^b f(x)\,dx$, הפונקציה $f(x)$ שנאגרת נקראת ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$a,b$ הם הגבולות; $f(x)$ היא פונקציית האינטגרציה.
זה עדיין שטח נקוד
- בדיוק כמו סכום רימן, האינטגרל המוגדר הוא חתימתי.
- כאשר $f>0$ האינטגרל מוסיף שטח; כאשר $f<0$ הוא מפחית.
- לכן $\int_a^b f\,dx$ יכול להיות חיובי, שלילי או אפס.
- $\Delta x$ כולל כיוון: מעבר מ$a$ ל$b$ עם $a<b$ גורם לכך שהרוחב יהיה חיובי.
אינטגרל מוגדר $\int_a^b f\,dx$ נותן ערך של מספר יחיד.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
זהו מספר שטח ממוזג, לא פונקציה.
אם $f(x)<0$ על כל $[a,b]$, אזי $\int_a^b f\,dx$ הוא...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
שטח מתחת לציר הוא שטח ממוזג שלילי.
האינטגרל המוגדר הוא מספר (שטח חתימתי), ולא פונקציה — אל תבלבלו בינו לבין האינטגרל הלא-מוגדר (משפחה של נגזרות, שיעור 6.8). ו$\int_a^b f\,dx$ הוא שטח חתימתי: עקומה השוקעת מתחת לציר יוצרת תרומה שלילית, ולכן האינטגרל אינו זהה ל"שטח גיאומטרי כולל".
ביטאו את השטח מתחת ל$f(x)=x^2$ על $[0,2]$ באמצעות אינטגרל מוגדר.
- רוחב כל אחד מ$n$ הרצועות: $\Delta x=\dfrac{2-0}{n}=\dfrac2n$.
- סכום רימן: $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$.
- שטח מדויק: $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ (שהוא שווה ל$\tfrac83$).
סכום רימן בתודעת סיכום הוא $\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ עם $\Delta x=\frac{b-a}{n}$. הגבול שלו כאשר $n\to\infty$ הוא האינטגרל המוגדר $\int_a^b f(x)\,dx$ — השטח החתימי המדויק, כאשר $a,b$ הם גבנות האינטגרציה ו$f(x)$ היא הפונקציה שנאנסת.