חקירת צטרופים של שינוי
הוצג| English | משמעות |
|---|---|
| net change/net tʃeɪndʒ/ | שינוי נטו |
| accumulation/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn/ | צבירה |
| area/ˈeərɪə/ | שטח |
| signed area/saɪnd ˈeərɪə/ | שטח סימני |
חיבור שינויים לקבלת סך כולל
- הנגזרת פירקה דברים לקצבים. אינטגרציה מחברת אותם חזרה לסכמים כוללים.
- אם ידוע вам הקצב שבו משהו משתנה, ניתן למצוא את ה-שינוי הנטו שנצבר.
- נסעו במהידה ידועה זמן מסוים → המרחק הכולל הוא המהירות שנצברה לאורך הזמן.
- "חיבור קצב" זה הרעיון הגדול השני בק্যালקולוס: צבירה.
אינטגרציה (צטרוף) היא בעיקר ההפוך של...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
צטרוף של קצב מבטל הפקת נגזרת של סך הכל.
השינוי הכולל הצטבר מקצב בתחום נתון מכונה השינוי ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
שינוי נקי = צטרוף עם סימן.
שטח מתחת לגרף קצב = כמות מצטברת
- ציירו קצב שינוי מול זמן. ה-שטח מתחת לגרף הזה הוא השינוי הכולל שנצבר.
- קצב קבוע $60\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ במשך $2$ שעות → שטח של מלבן $=60\times2=120$ ק"מ.
- קצב משתנה יוצר אזור מעוגל, אך הרעיון זהה: שטח = כמות מצטברת.
- הגובה הוא הקצב; רוחב הוא המרווח; השטח הוא הסה"כ.
שטח מתחת לקצב הוא סך הכל
y = 3 (קצב קבוע)
השטח המוצלע מתחת לעקומת הקצב מייצג את הסכום הצטבר — הרחבת התחום גורמת לסך הגדילה.
ברז זורם בקצב $3$ ליטר לדקה במשך $4$ דקות. השטח מתחת לגרף הקצב (נפח מצטבר) הוא...
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
שטח הריבוע $=3\times4=12$ ליטר.
קצב עולה ליניארית מ-$0$ ל-$6$ לאורך $4$ דקות (משולש). הסכום המצטבר (שטח) הוא...
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
שטח משולש $=\tfrac12\times4\times6=12$.
שטח ממוסמן: קצבים יכולים להיות שליליים
- כאשר הקצב חיובי, הכמות גדלה (השטח נחשב כחיובי).
- כאשר הקצב שלילי (מתחת לציר), הכמות קטנה (השטח נחשב כשלילי).
- השינוי הנקי הוא שטח חתום: החלקים החיוביים פחות החלקים השליליים.
- לכן, גוף שנע לאחור מפחית מהזחילה המצטברת.
כאשר גרף הקצב יורד מתחת לציר, שטח זה מחוסר מהשינוי הנקי הצטבר.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
שטח מתחת לציר הוא שלילי (שטח עם סימן).
בגרף מהירות-זמן, חלק מתחת לציר פירושו שהגוף...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
מהירות שלילית = תנועה לאחור = שטח שלילי עם סימן.
מקצב חזרה לכמות
- אם $f$ הוא קצב ואגרת מ$a$ ל$b$, תקבל את השינוי הנקי של הכמות המקורית.
- זה בדיוק הפוך להפרשה — ביטול הקצב לשחזור הסה"כ.
- הכלי שמחשב שטח חתום זה באופן מדויק הוא אינטגרל מסוים (יגיע בהמשך).
- לעת עתה: שטח מתחת לגרף קצב = הכמות שהצטברה.
שינוי מצטבר הוא שטח חתום, לא רק "שטח". גרף מהירות שקורע מתחת לציר מראה שהגוף נע לאחור, מה שמפחית מהזחילה הכוללת. אל תחבר את כל השטח כחיובי — אזורים מתחת לציר נחשבים כשליליים.
ברז ממלא מיכל בקצב של $3\,\tfrac{\text{L}}{\text{min}}$ במשך $4$ דקות, ולאחר מכן ב$0$.
- גרף הקצב הוא מלבן: גובה $3$, רוחב $4$.
- נפח מצטבר = שטח $=3\times4=12$ ליטר.
- אם הקצב לאחר מכן הופך לשלילי (ניקוז), שטח זה יפחית מהסה"כ.
הצטברות הופכת קצב חזרה לסה"כ: השטח החתום מתחת לגרף קצב שינוי לאורך $[a,b]$ הוא השינוי הנקי של הכמות. קצב חיובי → השטף מחבר; קצב שלילי → השטף מפחית. האינטגרל המסוים הופך זאת למדויק.